Wiskundigen van de RUDN University hebben de Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS) ongelijkheden bewezen voor de klasse van gegeneraliseerde Riesz-potentialen. Deze resultaten breiden de reikwijdte van deze potentiëlen in de wiskunde en natuurkunde uit, omdat de belangrijkste hulpmiddelen voor het werken met dergelijke potentiëlen gebaseerd zijn op HLS-ongelijkheden. Nieuwe wiskundige hulpmiddelen kunnen berekeningen in de kwantummechanica en andere natuurkundegebieden aanzienlijk vereenvoudigen. De resultaten van het onderzoek zijn gepubliceerd in het tijdschrift Wiskundige notities .

De moderne natuurkunde beschrijft de wereld in termen van velden en hun mogelijkheden, dat wil zeggen:de waarden van het veld op elk punt. Maar de fysieke grootheden die we kunnen meten zijn krachten en versnellingen, dat is, afgeleiden van de tweede orde van de potentiaal van het overeenkomstige veld. Het probleem van het reconstrueren van de veldconfiguratie met de beschikbare waarden van krachten en versnellingen waargenomen in experimenten is complex en niet altijd analytisch oplosbaar. Differentiatiebewerkingen in multidimensionale ruimte-operators worden meestal gebruikt om de correlatie tussen de potentiaal van het veld en de krachten te beschrijven. Vooral, elektromagnetische en zwaartekrachtinteracties worden beschreven in de taal van operators.

Aangezien de potentiaal van het veld kan worden bepaald tot een constante waarde, voor het gemak van berekeningen, de initiële waarde van de potentiaal wordt genomen op een bepaald punt in de multidimensionale ruimte, of aan de rand van een ruimtelijk gebied. Maar in sommige gevallen, wiskundige modellen van dergelijke velden leiden tot een singulariteit, dat is, op sommige punten wordt de waarde van het veld oneindig, en verliest daardoor zijn fysieke betekenis.

Vagif Guliyev, de onderzoeker van het Nikol'skii Instituut voor Wiskunde van de RUDN University, en zijn collega's werkten aan de ontwikkeling van methoden waarmee de configuratie van het veldpotentieel kan worden hersteld met alleen analytische methoden.

Wiskundigen van de RUDN University bestudeerden een van de belangrijke gevallen voor de ontwikkeling van de kwantumtheorie - de noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor de begrensdheid van de Riesz-potentiaal gegenereerd door de Gegenbauer-differentiaaloperator in gewogen Lebesgue-ruimten Lp, . Hun studie ontwikkelt en vormt een aanvulling op het eerdere bewijs van de stelling van Hardy-Littlewood-Sobolev voor het Gegenbauer-potentieel.

Operatoren gedefinieerd door Riesz-potentialen hebben veel toepassingen in de natuurkunde - Riesz-potentialen omvatten, bijvoorbeeld, elektrostatische potentiaal.

Het bewijs van de Hardy-Littlewood-Sobolev-ongelijkheid voor gegeneraliseerde Riesz-potentialen betekent dat natuurkundigen en wiskundigen een hulpmiddel hebben waarmee ze van tevoren kunnen bepalen, alvorens moeizame berekeningen uit te voeren, of het mogelijk is om de configuratie van het veld analytisch te berekenen met de beschikbare waarden van krachten, en niet om een ​​singulariteit te verkrijgen.

De resultaten van het onderzoek kunnen in de natuurkunde worden gebruikt om de omstandigheden te bepalen waaronder het mogelijk is om het ruimtelijke beeld van fysieke velden van verschillende aard te herstellen, bijvoorbeeld, op het gebied van kwantumelektrodynamica.