In wiskunde, eenvoudige vergelijkingen kunnen een complexe evolutie in de tijd en intrigerende patronen in de ruimte genereren. Een beroemd voorbeeld hiervan is de Mandelbrot-set, genoemd naar de Frans-Amerikaanse wiskundige van Poolse afkomst, Benoit B. Mandelbrot (1924-2010), de meest bestudeerde fractal. Deze set is gebaseerd op een enkele kwadratische vergelijking met slechts één parameter en één variabele. De fascinerende fractale patronen van de Mandelbrot-verzameling hebben de aandacht getrokken tot ver buiten de wiskunde.

Een artikel van Ralph Andrzejak, getiteld "Chimaera's begrensd door fractale grenzen in het complexe vlak, " maakt deel uit van een speciale editie van het tijdschrift Chaos ter nagedachtenis aan de Russische professor Vadim S. Anishchenko, (1943-2020), gepubliceerd op 3 mei 2021. Andrzejak is hoofd van de Nonlinear Time Series Analysis Group bij het UPF Department of Information and Communication Technologies (DTIC). Het werk generaliseert de Mandelbrot-set voor vier kwadratische vergelijkingen. De bovenstaande afbeelding is een voorbeeld van de patronen die door deze benadering worden gegenereerd.

Een reis door vele ordes van grootte

Andrzejak merkt op dat "de complexiteit van fractale patronen kan worden gezien wanneer we dichter bij steeds kleinere details komen, " die de auteur in de onderstaande afbeelding illustreert. Hij verklaart de afbeelding door te zeggen dat "wereldwijd, het patroon in het linkerbovenpaneel van de figuur lijkt op de klassieke set van Mandelbrot. Echter, zodra we de details inspecteren, we kunnen patronen zien die niet te vinden zijn in de Mandelbrot-set. Om deze details beter te zien, we vergroten het vierkant om het volgende paneel te produceren."

"Iteratief zoomen in fractale patronen. Van links naar rechts en van boven naar beneden, volgende panelen vergroten de vierkanten van de overeenkomstige vorige panelen. De eerste figuur hierboven verschijnt weer, hier als de vijfde stap in de vergroting.

De auteur gebruikt een vergelijking om te benadrukken dat deze patronen inderdaad van vele ordes van grootte zijn. Hij stelt dat "de zoom die wordt toegepast op de twaalf panelen waaruit het beeld bestaat, overeenkomt met het opblazen van een atoom ter grootte van een SUV-auto." "Als we inzoomen, het vergroten van de afbeelding, we zien dat er een rijke variatie is aan esthetisch intrigerende vormen en vormen. De patronen die we hebben ontdekt lijken misschien minder filigraan en minder geordend, maar ze kunnen gevarieerder zijn dan die in de Mandelbrot-set."

Interactie van fractals en synchronisatie

Maar er zijn meer dan fractale patronen om het voorstel van Andrzejak te benaderen. Omdat de auteur vier vergelijkingen gebruikt in plaats van één, hij heeft ook synchronisatie binnen deze fractale patronen kunnen bestuderen. Hoe kunnen we dit begrijpen? Andrzejak legt uit:"De Mandelbrot-verzameling is gebaseerd op één vergelijking met één parameter en één variabele. We kunnen ons deze variabele voorstellen als een kleine bal die op het oppervlak van een grote ronde tafel beweegt. Wat er met deze bal gebeurt, hangt af van de parameter van de vergelijking. Voor sommige waarden van deze parameter geldt de bal beweegt en ligt altijd op tafel. De verzameling van al deze parameterwaarden waarvoor de bal op de tafel blijft liggen, is wat de Mandelbrot-verzameling definieert. Integendeel, voor de overige parameterwaarden, de bal valt op een gegeven moment van de tafel."

Andrzejak vervolgt door te zeggen dat "men zou kunnen denken dat de vier vergelijkingen die we gebruiken de beweging beschrijven van niet slechts één, maar vier ballen op het tafeloppervlak. Omdat de vergelijkingen verbonden zijn, de ballen kunnen niet vrij bewegen. Echter, ze trekken elkaar aan, zoals de zon, Aarde en maan trekken elkaar aan door de zwaartekracht." De onderzoeker voegt eraan toe dat "als gevolg van deze aantrekkingskracht, de vier ballen kunnen verschillende vormen van synchronisatie vertonen. De twee uitersten zijn:de vier ballen bewegen samen langs dezelfde paden of elke bal volgt zijn eigen pad." Andrzejak benadrukt vervolgens dat "het allerbelangrijkste, voorbij deze uitersten, is het vinden van zogenaamde gedeeltelijke synchronisatie. Bijvoorbeeld, twee ballen kunnen synchroon met elkaar bewegen, terwijl de andere twee ballen niet gesynchroniseerd blijven met deze beweging. Deze specifieke toestand van gedeeltelijke synchronisatie wordt de chimere toestand genoemd, " vandaar de titel van het artikel.

Een zaak van groot belang voor de dynamiek van de echte wereld

Als we ons afvragen of het wiskundige model in kwestie relevant kan zijn voor de dynamiek van de echte wereld, Andrzejak antwoordt:"Ja. Absoluut. Het beste voorbeeld zijn de hersenen. Als al onze neuronen zouden synchroniseren of niet meer synchroon liepen, ons brein kon zijn werk niet meer doen. Ons brein kan alleen goed werken als sommige neuronen synchroniseren terwijl andere neuronen niet synchroon blijven. Gedeeltelijke synchronisatie is essentieel om de hersenen goed te laten werken." De auteur brengt dit in verband met zijn werk en zegt:"we laten zien hoe het mogelijk is om gedeeltelijke synchronisatie tot stand te brengen in een heel eenvoudig model en, Bovendien, we laten zien hoe deze gedeeltelijke synchronisatie binnen de fractale limieten wordt beperkt door volledige synchronisatie en desynchronisatie." De auteur concludeert:"Als we de basismechanismen van gedeeltelijke synchronisatie bestuderen in zeer eenvoudige modellen, dit kan helpen begrijpen hoe het tot stand komt en hoe het stabiel kan worden gehouden in complexe systemen als het menselijk brein."