Er zijn de afgelopen 150 jaar veel manieren voorgesteld om de Riemann-hypothese te benaderen, maar geen van hen heeft geleid tot het overwinnen van het beroemdste open probleem in de wiskunde. Een nieuwe krant in de Proceedings van de National Academy of Sciences ( PNAS ) suggereert dat een van deze oude benaderingen praktischer is dan eerder werd gerealiseerd.

"In een verrassend kort bewijs, we hebben laten zien dat een oude, verlaten benadering van de Riemann-hypothese niet had mogen worden vergeten, " zegt Ken Ono, een getaltheoreticus aan de Emory University en co-auteur van het artikel. "Door simpelweg een goed raamwerk voor een oude benadering te formuleren, hebben we een aantal nieuwe stellingen bewezen, inclusief een groot deel van een criterium dat de Riemann-hypothese impliceert. En ons algemene kader opent ook benaderingen voor andere onbeantwoorde fundamentele vragen."

De paper bouwt voort op het werk van Johan Jensen en George Pólya, twee van de belangrijkste wiskundigen van de 20e eeuw. Het onthult een methode om de veeltermen van Jensen-Pólya - een formulering van de Riemann-hypothese - niet één voor één te berekenen, maar allemaal tegelijk.

"De schoonheid van ons bewijs is de eenvoud, " zegt Ono. "We bedenken geen nieuwe technieken of gebruiken geen nieuwe objecten in wiskunde, maar we bieden een nieuwe kijk op de Riemann-hypothese. Elke redelijk gevorderde wiskundige kan ons bewijs controleren. Er is geen expert in getaltheorie voor nodig."

Hoewel het artikel de Riemann-hypothese niet bewijst, de gevolgen ervan omvatten eerder open beweringen waarvan bekend is dat ze volgen uit de Riemann-hypothese, evenals enkele bewijzen van vermoedens op andere gebieden.

Co-auteurs van het artikel zijn Michael Griffin en Larry Rolen - twee van Ono's voormalige Emory-afgestudeerde studenten die nu verbonden zijn aan de faculteit van Brigham Young University en Vanderbilt University, respectievelijk - en Don Zagier van het Max Planck Institute of Mathematics.

"Het hier vastgestelde resultaat kan worden gezien als verder bewijs voor de Riemann-hypothese, en in ieder geval het is een mooie op zichzelf staande stelling, " zegt Kannan Soundararajan, een wiskundige aan de Stanford University en een expert op het gebied van de Riemann-hypothese.

Het idee voor de krant werd twee jaar geleden aangewakkerd door een "speelgoedprobleem" dat Ono als een "geschenk" presenteerde om Zagier te vermaken tijdens de aanloop naar een wiskundeconferentie ter ere van zijn 65e verjaardag. Een speelgoedprobleem is een verkleinde versie van een groter, ingewikkelder probleem dat wiskundigen proberen op te lossen.

Zagier beschreef degene die Ono hem gaf als "een schattig probleem over het asymptotische gedrag van bepaalde polynomen met betrekking tot de partitiefunctie van Euler, dat is een oude liefde van mij en van Ken - en van vrijwel elke klassieke getaltheoreticus."

"Ik vond het probleem onhandelbaar en ik had niet verwacht dat Don er iets mee zou doen, Ono herinnert zich. "Maar hij vond de uitdaging superleuk en had al snel een oplossing bedacht."

Ono's vermoeden was dat een dergelijke oplossing in een meer algemene theorie zou kunnen worden verwerkt. Dat is wat de wiskundigen uiteindelijk hebben bereikt.

"Het was een leuk project om aan te werken, een echt creatief proces, Griffin zegt. "Wiskunde op onderzoeksniveau is vaak meer kunst dan rekenen en dat was hier zeker het geval. Het vereiste dat we op een nieuwe manier naar een bijna 100 jaar oud idee van Jensen en Pólya moesten kijken."

De Riemann-hypothese is een van de zeven millenniumprijsproblemen, door het Clay Mathematics Institute geïdentificeerd als de belangrijkste open problemen in de wiskunde. Elk probleem heeft een premie van $ 1 miljoen voor zijn oplossers.

De hypothese debuteerde in een artikel uit 1859 van de Duitse wiskundige Bernhard Riemann. Hij merkte op dat de verdeling van priemgetallen nauw verwant is aan de nullen van een analytische functie, die de Riemann-zetafunctie werd genoemd. In wiskundige termen, de Riemann-hypothese is de bewering dat alle niet-triviale nullen van de Zeta-functie een reëel deel ½ hebben.

"Zijn hypothese is een mondvol, maar de motivatie van Riemann was eenvoudig, ' zegt Ono. 'Hij wilde priemgetallen tellen.'

De hypothese is een middel om een ​​van de grootste mysteries in de getaltheorie te begrijpen:het patroon dat ten grondslag ligt aan priemgetallen. Hoewel priemgetallen eenvoudige objecten zijn die zijn gedefinieerd in elementaire wiskunde (elk getal groter dan 1 zonder andere positieve delers dan 1 en zichzelf), blijft hun verdeling verborgen.

Het eerste priemgetal, 2, is de enige even. Het volgende priemgetal is 3, maar priemgetallen volgen geen patroon van elk derde getal. De volgende is 5, dan 7, dan 11. Terwijl je naar boven blijft tellen, priemgetallen worden snel minder frequent.

"Het is bekend dat er oneindig veel priemgetallen zijn, maar ze worden zeldzaam, zelfs tegen de tijd dat je de 100 bereikt, " legt Ono uit. "In feite, van de eerste 100, 000 nummers, slechts 9, 592 zijn priemgetallen, of ongeveer 9,5 procent. En vanaf daar worden ze snel zeldzamer. De kans dat je willekeurig een getal kiest en dat het een priemgetal is, is nul. Het gebeurt bijna nooit."

in 1927, Jensen en Pólya formuleerden een criterium om de Riemann-hypothese te bevestigen, als een stap in de richting van het ontketenen van zijn potentieel om de priemgetallen en andere wiskundige mysteries op te helderen. Het probleem met het criterium - het vaststellen van de hyperboliciteit van de veeltermen van Jensen-Pólya - is dat het oneindig is. Gedurende de afgelopen 90 jaar, slechts een handvol van de polynomen in de reeks zijn geverifieerd, waardoor wiskundigen deze benadering als te traag en onpraktisch verlieten.

Voor de PNAS papier, de auteurs bedachten een conceptueel raamwerk dat de polynomen stapsgewijs combineert. Met deze methode konden ze het criterium voor elke graad 100 procent van de tijd bevestigen, het overschaduwen van de handvol gevallen die eerder bekend waren.

"De methode heeft een schokkend gevoel universeel te zijn, in die zin dat het van toepassing is op problemen die schijnbaar niets met elkaar te maken hebben, " zegt Rolen. "En tegelijkertijd, zijn bewijzen zijn gemakkelijk te volgen en te begrijpen. Enkele van de mooiste inzichten in wiskunde zijn degenen die er lang over deden om te realiseren, maar als je ze eenmaal ziet, ze lijken eenvoudig en duidelijk."

Ondanks hun werk, de resultaten sluiten de mogelijkheid niet uit dat de Riemann-hypothese onjuist is en de auteurs geloven dat een volledig bewijs van het beroemde vermoeden nog ver weg is.