Soms is de hoeveelheid x _{f - x i
is geschreven}

Δx
, wat betekent "de verandering in x
", of zelfs gewoon als d
, wat betekent verplaatsing. Positie, snelheid en versnelling zijn vectorgrootheden, wat betekent dat ze een bijbehorende richting hebben. In één dimensie wordt richting meestal aangegeven door tekens - positieve hoeveelheden zijn in de positieve richting en negatieve hoeveelheden zijn in de negatieve richting.
Subscripts: "0" kan worden gebruikt voor de beginpositie en snelheid in plaats van i
. Deze "0" betekent "op t
\u003d 0," en x <sub>0
en v 0
worden meestal uitgesproken als "x-niets" en "v-niets". * Slechts een van de vergelijkingen bevat geen tijd. Bij het uitschrijven van gegevens en het bepalen van de te gebruiken vergelijking, is dit de sleutel!


Een speciaal geval: vrije val</sub>

Vrije valbeweging is de beweging van een voorwerp dat versnelt vanwege de zwaartekracht alleen in afwezigheid van luchtweerstand. Dezelfde kinematische vergelijkingen zijn van toepassing; de versnellingswaarde nabij het aardoppervlak is echter bekend. De grootte van deze versnelling wordt vaak weergegeven door g
, waarbij g \u003d 9,8 m /s ^{2. De richting van deze versnelling is naar beneden, richting het aardoppervlak. (Merk op dat sommige bronnen g
kunnen benaderen als 10 m /s 2, en anderen een waarde kunnen gebruiken die nauwkeurig is tot meer dan twee decimalen.)
Probleemoplossingsstrategie voor kinematicaproblemen in één dimensie:}

Schets een diagram van de situatie en kies een geschikt coördinatensysteem. (Bedenk dat x
, v
en a
allemaal vectorgrootheden zijn, dus door een duidelijke positieve richting toe te wijzen, is het gemakkelijker om tekens bij te houden.)


Schrijf een lijst met bekende hoeveelheden. (Let op: soms zijn de bekende gegevens niet voor de hand liggend. Zoek naar zinnen als "begint bij rust", wat betekent dat v _{i
\u003d 0, of "de grond raakt", wat betekent dat x f
\u003d 0, enzovoort.)}


Bepaal welke hoeveelheid de vraag u wilt laten vinden. Wat is het onbekende dat u gaat oplossen?


Kies de juiste kinematische vergelijking. Dit is de vergelijking die uw onbekende hoeveelheid samen met bekende hoeveelheden bevat.


Los de vergelijking voor de onbekende hoeveelheid op, sluit vervolgens bekende waarden aan en bereken het uiteindelijke antwoord. (Wees voorzichtig met eenheden! Soms moet je eenheden omrekenen voordat je gaat rekenen.)

Voorbeelden van eendimensionale kinematica


Voorbeeld 1: Een advertentie beweert dat een sportwagen van 0 naar 60 kan gaan km /u in 2,7 seconden. Wat is de versnelling van deze auto in m /s ^{2? Hoe ver reist het gedurende deze 2,7 seconden?}


Oplossing:


(Afbeelding invoegen 2)


Bekende en onbekende hoeveelheden:
v_i \u003d 0 \\ text {mph } \\\\ v_f \u003d 60 \\ text {mph} \\\\ t \u003d 2.7 \\ text {s} \\\\ x_i \u003d 0 \\\\ a \u003d \\ text {?} \\\\ x_f \u003d \\ text {?}

Het eerste deel van de vraag moet worden opgelost voor de onbekende versnelling. Hier kunnen we vergelijking # 1 gebruiken:
v_f \u003d v_i + at \\ impliceert a \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} t

Voordat we getallen inpluggen, moeten we echter 60 mph converteren naar m /s:
60 \\ annuleren {\\ text {mph}} \\ Bigg (\\ frac {0.477 \\ text {m /s}} {\\ cancel {\\ text {mph}}} \\ Bigg) \u003d 26.8 \\ text {m /s}

Dus de versnelling is dan:
a \u003d \\ frac {(26.8-0)} {2.7} \u003d \\ onderstrepen {\\ bold {9.93} \\ text {m /s} ^ 2}

Om te bepalen hoe ver het in die tijd gaat, kunnen we vergelijking # 2 gebruiken:
x_f \u003d x_i + v_it + \\ frac 1 2 om ^ 2 \u003d \\ frac 1 2 \\ keer 9,93 \\ keer 2,7 ^ 2 \u003d \\ onderstreep {\\ bold {36.2} \\ text {m}}

Voorbeeld 2: een bal wordt met een snelheid van 15 m /s vanaf een hoogte van 1,5 m naar boven gegooid. Hoe snel gaat het als het de grond raakt? Hoe lang duurt het om de grond te raken?


Oplossing:


(Afbeelding 3 invoegen)


Bekende en onbekende hoeveelheden:
x_i \u003d 1.5 \\ text {m } \\\\ x_f \u003d 0 \\ text {m} \\\\ v_i \u003d 15 \\ text {m /s} \\\\ a \u003d -9.8 \\ text {m /s} ^ 2 \\\\ v_f \u003d? \\\\ t \u003d?

Om het eerste deel op te lossen, kunnen we vergelijking # 3 gebruiken:
(v_f) ^ 2 \u003d (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \\ impliceert v_f \u003d \\ pm \\ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}

Alles is al in consistente eenheden, dus we kunnen waarden invoeren:
v_f \u003d \\ pm \\ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9.8) (0-1.5) } \u003d \\ pm \\ sqrt {254.4} \\ circa \\ pm16 \\ text {m /s}

Er zijn hier twee oplossingen. Welke is juist? Uit ons diagram kunnen we zien dat de eindsnelheid negatief moet zijn. Het antwoord is dus:
v_f \u003d \\ onderstrepen {\\ bold {-16} \\ text {m /s}}

Om tijd op te lossen, kunnen we vergelijking # 1 of vergelijking # 2 gebruiken. Aangezien vergelijking # 1 eenvoudiger is om mee te werken, zullen we die gebruiken:
v_f \u003d v_i + at \\ impliceert t \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} {a} \u003d \\ frac {(-16-15) } {- 9.8} \\ circa \\ onderstrepen {\\ bold {3.2} \\ text {s}}

Merk op dat het antwoord op het eerste deel van deze vraag niet 0 m /s was. Hoewel het waar is dat nadat de bal landt, hij 0 snelheid zal hebben, wil deze vraag weten hoe snel hij gaat in die fractie van een seconde voor impact. Zodra de bal contact maakt met de grond, zijn onze kinematische vergelijkingen niet langer van toepassing omdat de versnelling niet constant zal zijn.
Kinematische vergelijkingen voor projectielbeweging (twee dimensies)


Een projectiel is een object dat in twee dimensies beweegt onder de invloed van de zwaartekracht van de aarde. Het pad is een parabool omdat de enige versnelling te wijten is aan de zwaartekracht. De kinematische vergelijkingen voor projectielbeweging hebben een iets andere vorm dan de hierboven genoemde kinematische vergelijkingen. We gebruiken het feit dat bewegingscomponenten die loodrecht op elkaar staan - zoals de horizontale x
richting en de verticale y
richting - onafhankelijk zijn.
Probleemoplossende strategie voor projectielbeweging Kinematica Problemen:


Schets een diagram van de situatie. Net als bij eendimensionale beweging, is het handig om het scenario te schetsen en het coördinatensysteem aan te geven. In plaats van de labels x
, v
en a
voor positie, snelheid en versnelling te gebruiken, hebben we een manier nodig om de beweging in elke dimensie afzonderlijk te labelen.


Voor de horizontale richting is het meest gebruikelijk om x
te gebruiken voor positie en v _{x
voor de x-component van snelheid (merk op dat versnelling 0 is in deze , dus we hebben er geen variabele voor nodig.) In de richting y
is het gebruikelijk om y
te gebruiken voor positie en v y
voor de y-component van snelheid. Versnelling kan worden aangeduid met a y
of we kunnen het feit gebruiken dat we weten dat de versnelling door zwaartekracht g
is in de negatieve y-richting, en gebruik dat gewoon .}


Schrijf een lijst met bekende en onbekende hoeveelheden door het probleem in twee delen op te splitsen: verticale en horizontale beweging. Gebruik goniometrie om de x- en y-componenten te vinden van vectorgrootheden die niet langs een as liggen. Het kan handig zijn om dit in twee kolommen op te sommen:


(voeg tabel 1 in)


Opmerking: als snelheid wordt gegeven als een grootte samen met een hoek, Ѳ
, boven de horizontale lijn, gebruik dan vectorontleding, v _{x \u003d vcos (Ѳ)
en v y \u003d vsin (Ѳ)
.}


We kunnen onze drie kinematische vergelijkingen van eerder bekijken en ze respectievelijk aanpassen aan de x- en y-richting.


X-richting:
x_f \u003d x_i + v_xt

Y-richting:
v_ {yf} \u003d v_ {yi} -gt \\\\ y_f \u003d y_i + v_ {yi} t- \\ frac 1 2 gt ^ 2 \\\\ (v_ {yf}) ^ 2 \u003d (v_ {yi}) ^ 2-2g (y_f - y_i)

Merk op dat de versnelling in de richting y
-g is als we aannemen dat positief is. Een veel voorkomende misvatting is dat g \u003d -9.8 m /s ^{2, maar dit is onjuist; g
zelf is gewoon de grootte van de versnelling: g \u003d 9,8 m /s 2, dus we moeten aangeven dat de versnelling negatief is.}


Los een onbekende op in een van die dimensies, en sluit dan aan wat gemeenschappelijk is in beide richtingen. Hoewel de beweging in de twee dimensies onafhankelijk is, gebeurt dit op dezelfde tijdsschaal, dus de tijdvariabele is in beide dimensies hetzelfde. (De tijd die de bal nodig heeft om zijn verticale beweging te ondergaan, is dezelfde als de hoeveelheid tijd die het kost om zijn horizontale beweging te ondergaan.)

Projectiel Beweging Kinematica Voorbeelden


Voorbeeld 1: Een projectiel wordt horizontaal gelanceerd vanaf een klif met een hoogte van 20 m met een beginsnelheid van 50 m /s. Hoe lang duurt het om de grond te raken? Hoe ver van de basis van de klif komt het terecht?


(afbeelding 4 invoegen)


Bekende en onbekende hoeveelheden:


(tabel 2 invoegen)


We kunnen de tijd vinden die nodig is om de grond te raken met behulp van de tweede verticale bewegingsvergelijking:
y_f \u003d y_i + v_ {yi} t- \\ frac 1 2 gt ^ 2 \\ impliceert t \u003d \\ sqrt {\\ frac { (2 \\ keer 20)} g} \u003d \\ onderstrepen {\\ bold {2.02} \\ text {s}}

Om vervolgens te vinden waar het terechtkomt, x _{f
, kunnen we de vergelijking horizontale beweging:
x_f \u003d x_i + v_xt \u003d 50 \\ times2.02 \u003d \\ onderstrepen {\\ bold {101} \\ text {s}}}

Voorbeeld 2: Een bal wordt op 100 m /s vanaf de grond gelanceerd waterpas onder een hoek van 30 graden met de horizontaal. Waar komt het terecht? Wanneer is zijn snelheid het kleinst? Wat is de locatie op dit moment?


(afbeelding 5 invoegen)


Bekende en onbekende hoeveelheden:


Eerst moeten we de snelheidsvector in componenten verdelen:
v_x \u003d v_i \\ cos (\\ theta) \u003d 100 \\ cos (30) \\ circa 86.6 \\ text {m /s} \\\\ v_ {yi} \u003d v_i \\ sin (\\ theta) \u003d 100 \\ sin (30) \u003d 50 \\ text {m /s}

Onze kwantiteitstabel is dan:


(voeg tabel 3 in)


Eerst moeten we de tijd vinden waarop de bal vliegt. We kunnen dit doen met de tweede verticale vergelijking_. Merk op dat we symmetrie van de parabool gebruiken om te bepalen dat de uiteindelijke _y
snelheid negatief is van de initiaal:


Dan bepalen we hoe ver het is beweegt in deze tijd in de richting x
:
x_f \u003d x_i + v_xt \u003d 86.6 \\ times 10.2 \\ circa \\ onderstrepen {\\ bold {883} \\ text m}

De symmetrie van de parabolisch pad, kunnen we bepalen dat de snelheid het kleinst is bij 5,1 s, wanneer het projectiel de piek van zijn beweging heeft en de verticale component van snelheid 0. De x- en y-componenten van zijn beweging op dit moment zijn:
x_f \u003d x_i + v_xt \u003d 86.6 \\ keer 5.1 \\ circa \\ onderstrepen {\\ bold {442} \\ text m} \\\\ y_f \u003d y_i + v_ {yi} t- \\ frac 1 2 gt ^ 2 \u003d 50 \\ keer5. 1- \\ frac 1 2 9.8 \\ keer 5.1 ^ 2 \\ circa \\ onderstrepen {\\ bold {128} \\ text {m}} Kinematische vergelijkingen Derivation


Vergelijking # 1: Als de versnelling constant is, dan:
a \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} {t}

Oplossen voor de snelheid, we hebben:
v_f \u003d v_i + op

Vergelijking # 2: De gemiddelde snelheid kan in twee worden geschreven manieren :
v_ {avg} \u003d \\ frac {(x_f-x_i)} {t} \u003d \\ frac {(v_f + v_i)} {2}

Als we _v _{f _ vervangen door de uitdrukking uit vergelijking # 1, we krijgen:
\\ frac {(x_f-x_i)} {t} \u003d \\ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}}

Oplossen voor x _{f
geeft:
x_f \u003d x_i + v_i t + \\ frac 1 2 om ^ 2}

Vergelijking # 3: Begin met het oplossen van t
in vergelijking # 1
v_f \u003d v_i + at \\ impliceert t \u003d \\ frac {(v_f-v_i)} {a}

Steek deze uitdrukking in voor t
in de gemiddelde snelheidsrelatie:
v_ {avg} \u003d \\ frac { (x_f-x_i)} {t} \u003d \\ frac {(v_f + v_i)} {2} \\ impliceert \\ frac {(x_f-x_i)} {(\\ frac {(v_f-v_i)} {a})} \u003d \\ frac {(v_f + v_i)} {2}

Deze uitdrukking herschikken geeft:
(v_f) ^ 2 \u003d (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)