Sommige mensen maken graag willekeurige wandelingen door het bos, terwijl anderen misschien door hun eigen buurt slenteren. In de wereld van wiskunde, een willekeurige wandeling is in feite meer willekeurig dan dit; het zou het equivalent zijn van het opgooien van een munt om te beslissen welke richting je zou nemen met elke stap.

Onlangs, Omer Tamuz van Caltech, hoogleraar economie en wiskunde, samen met twee van zijn afgestudeerde studenten, Joshua Frisch en Pooya Vahidi Ferdowsi, en hun collega Yair Hartman van de Ben-Gurion Universiteit in Israël, loste een al lang bestaand wiskundig probleem op met betrekking tot willekeurige wandelingen. De oplossing werd afgelopen zomer gepubliceerd in het tijdschrift Annalen van de wiskunde .

"Ik herinner me dat ik met de studenten sprak over een besef dat we hadden over dit probleem, en toen de volgende ochtend ontdekte ik dat ze tot diep in de nacht waren opgebleven en bedachten het, ' zegt Tamuz.

"We hebben veel geluk gehad dat dit project ons de oplossing heeft opgeleverd die we wilden. Dat is zeer zeldzaam in een wiskundeproject, ", zegt Frisch. "Zo'n 90 procent van de projecten waaraan je werkt, je gaat het niet oplossen. Met ongeveer 10 procent je begint vooruitgang te boeken en werkt veel harder. En zelfs dan, die los je niet altijd op. Een deel van het wiskundige zijn is wennen aan falen. Soms werk je maandenlang aan iets en moet je het opgeven en door naar het volgende project."

Wiskundigen stellen zich willekeurige wandelingen voor in ruimtes met verschillende afmetingen en geometrieën. In de nieuwe studie het Caltech-team stelde zich willekeurige wandelingen voor op "groepen, " wat objecten zijn die zeer uiteenlopende geometrieën kunnen hebben. Voor sommige groepen, de willekeurige wandelingen zullen uiteindelijk, nadat er veel tijd is verstreken, convergeren naar een bepaalde richting. In die gevallen, van de wandelingen wordt gezegd dat ze padafhankelijk zijn, wat betekent dat iets dat in het begin is gebeurd, de uitkomst beïnvloedt. Of, met andere woorden, iets dat vroeg op de wandeling gebeurt, beïnvloedt waar het eindigt. Maar voor andere groepen de richting van de wandelingen convergeert niet, en hun geschiedenis heeft geen invloed op hun toekomst.

"Voor een willekeurig proces, is het waar dat op de lange termijn, alles spoelt weg en wat er ook gebeurt zal gebeuren, ongeacht wat er eerder gebeurde? Of is er een herinnering aan wat er eerder gebeurde?" vraagt ​​Tamuz. "Stel dat je twee samenlevingen hebt, en een van hen maakt wat technologische vooruitgang, terwijl de ander een natuurramp krijgt. Zullen deze verschillen voor altijd blijven bestaan, of zullen ze uiteindelijk verdwijnen en vergeten we dat er ooit een voordeel was? In willekeurige wandelingen, het is al lang bekend dat er groepen zijn die deze herinneringen hebben, terwijl in andere groepen de herinneringen worden gewist. Maar het was niet echt duidelijk welke groepen deze eigenschap hebben en welke niet - dat wil zeggen, wat maakt dat een groep geheugen heeft? Dit is wat we hebben bedacht."

De oplossing, zegt Tamuz, had te maken met het vinden van een 'geometrische manier om een ​​algebraïsche eigenschap van de groepen te beschrijven'. Om de essentie hiervan te begrijpen, denk aan een cirkel. Je kunt de cirkel geometrisch beschrijven (als de verzameling van alle punten op een bepaalde afstand van één punt), of je kunt het beschrijven met een algebraïsche vergelijking. In het geval van het random-walk-probleem, de wiskundigen vonden een nieuwe manier van denken over de verbanden tussen de geometrische en algebraïsche eigenschappen van de groepen die ze bestudeerden.

"We waren eigenlijk geschokt door hoe gemakkelijk het was om het probleem op te lossen toen we dit verband ontdekten, " zegt Ferdowsi, die uitlegt dat hoewel de oplossing "gewoon uitvloeide, " het team kreeg een "aanzienlijke" vertraging terwijl hij in zijn thuisland Iran was en geen visum kon krijgen om terug te keren naar Caltech. "Uiteindelijk, we waren verheugd een al lang bestaand open probleem in wiskunde te hebben opgelost."

Frisch zegt dat het grote besef dat ze hadden voor dit wiskundeprobleem eigenlijk voortkwam uit een eerder probleem dat veel moeilijker was. "Ik had er een paar maanden mijn hoofd op geslagen en kon geen vooruitgang boeken, " hij zegt, "Maar toen hadden we dit eureka-idee dat niet alleen van toepassing was op waar we toen aan werkten, maar ook op dit meer recente probleem. Het voelt heel goed als je je realiseert, "O mijn God, dit gaat echt werken.'"

De Annals of Mathematics-studie , getiteld, "Choquet-Deny-groepen en de oneindige conjugatieklasse-eigenschap, " werd ondersteund door de National Science Foundation en de Simons Foundation.