Johns Hopkins-wiskundige Joel Spruck en een collega zijn er onlangs in geslaagd een al lang bestaand vermoeden te bewijzen over het gebied van negatief gekromde ruimten, zoals bloemblaadjes of koraalriffen, een jarenlange onderneming vol onverwachte hindernissen en slapeloze nachten.

Omstreeks 900 v. Chr. de Fenicische prinses Dido - omvergeworpen door haar meedogenloze broer - vluchtte naar Afrika om land te kopen voor zichzelf en haar volgelingen. Zoals verteld in Virgil's Aeneis , Koning Jarbas bood haar zoveel land aan als ze met een ossenhuid kon omsluiten.

Clever Dido sneed de huid in zeer dunne reepjes. Door ze van begin tot eind te plaatsen, en de Middellandse Zee als één rand gebruiken, ze vormde een cirkel die zo groot was als haar koord maar mogelijk kon maken - en groot genoeg voor de fundering van wat de stad Carthago zou worden.

"Het probleem van koningin Dido, zoals het bekend is, staat aan het begin van veel onderwerpen, " merkt Johns Hopkins-wiskundige Joel Spruck op. Van een van de stapels boeken en papieren die zijn bureau in Krieger Hall bedekken, allemaal bedekt met een fijne waas van krijtstof, hij haalt een boek - deels wiskundige theorie, deels kunstboek - getiteld The Parsimonious Universe, die onderwerpen behandelt als vorm en vorm, oude wetenschap, en het concept van optimaal ontwerp. Het boek openen bij een illustratie van Dido's territorium, hij legt uit dat het probleem te maken heeft met een groot aantal favoriete wiskundige puzzels, variërend van waar schelpen hun vorm krijgen tot de manier waarop planten groeien tot waarom zeepbellen zich vormen zoals ze dat doen.

"Er zijn veel mogelijke vormen, en de natuur kiest degene die de minste hoeveelheid energie verbruikt, " Zegt Spruck. Hieruit volgt dat de vorm die een bepaald gebied omsluit met de kleinst mogelijke omtrek de cirkel is - of, zich wagen in drie dimensies, de bol.

Simpel genoeg. Maar het wordt lastiger als je dit idee buiten cirkels en sferen wilt veralgemenen naar meer gecompliceerde situaties. Onlangs, Spruck en een collega gingen die uitdaging aan en slaagden erin een al lang bestaand vermoeden te bewijzen dat hetzelfde principe zou gelden voor andere geometrieën. Het bewijs is een belangrijke stap voor de wiskundige natuurkunde - die teruggaat tot de 17e of 18e eeuw - omdat het een kwestie is die verband houdt met vele andere problemen.

"Het vormt de kern van een groot deel van de 20e-eeuwse wiskunde, niet alleen op dat gebied, maar ook op verwante gebieden, "zegt Spreuk, de JJ Sylvester Professor in de afdeling Wiskunde aan de Krieger School of Arts and Sciences van de universiteit.

Het is ook de laatste vermelding in een reeks bewijzen voor het vermoeden van Cartan-Hadamard, genoemd naar de wiskundigen uit het begin van de 20e eeuw die het idee voor het eerst poneerden. In 1926, het vermoeden werd bewezen voor twee dimensies. 1984, het werd bewezen voor vier dimensies, en voor drie in 1992. "Toen deden we alle andere dimensies, " Zegt Spruck. Even nadat ik ben gaan zitten om uit te leggen, Spruck springt weer op - een krijtje verschijnt plotseling in zijn hand - en begint zijn kantoorbord te bedekken met vergelijkingen en gebogen vormen. De uitdaging, hij legt uit, was dat hoewel het vermoeden relatief eenvoudig was - als je handig bent met wiskunde - in wat bekend staat als Euclidische ruimte, dingen werden ingewikkelder in, zeggen, negatief gekromde ruimte.

Negatief gekromde ruimte, Spruck gaat geduldig verder, is als een zadelvlak in plaats van een bol. Het omvat meer ruimte in minder ruimte. Denk aan bloemblaadjes of koraalriffen. Het universum kan negatief gekromd zijn - we weten het niet zeker.

Negatief gekromde ruimten zonder grenzen worden Cartan-Hadamard-spruitstukken genoemd, en dat is waar Spruck en zijn collega het vermoeden in elke dimensie bewezen. Ze kondigden hun bewijs aan met een bericht op ArXiv (uitgesproken als "archief"), een online, open-access platform waar de meeste moderne wiskunde plaatsvindt. Veel wiskundigen checken de site dagelijks om op de hoogte te blijven van de nieuwste technieken.

De proef vulde zo'n 80 pagina's met tekst en figuren. "Het was moeilijk omdat we alles moesten uitvinden; de technieken en zo, ze bestonden niet, " zegt Spruck. Hij was al lang nieuwsgierig naar het probleem, en nodigde een oud-student uit, Mohammed Ghom, om het met hem aan te pakken. Ghom, een specialist in klassieke meetkunde die zijn Ph.D. van Hopkins in 1998, is een professor aan de Georgia Tech's School of Mathematics. Hun verhaal bleek een verhaal te zijn van wiskundig dramatische redding van een bijna-dood.

Spruck had een idee, maar hij vond het extreem riskant en mogelijk 'krankzinnig'. "Bij wiskunde draait alles om het concreet maken van je idee:de intuïtie gebruiken en er iets heel rigoureus van maken, "zegt Spruck. "Dus we zouden proberen om stukjes van het plan op te schrijven, maar er waren tegenstrijdige technische problemen."

Een half jaar ging voorbij, de twee kruisten horde na horde. Ze communiceerden per e-mail - enkele duizenden - terwijl Spruck slapeloze nachten op zijn bank doorbracht met een blocnote. Het was verre van vanzelfsprekend om tot een gelukkige conclusie te komen. Bij een groot struikelblok, bestaande uit dingen die "niveausets" en "vertakkende sneeuwvlokken" worden genoemd, " ze wonnen uiteindelijk op de kracht van een stelling uit een heel andere tak van wiskunde.

"Dit was emotioneel best moeilijk, Zegt Spruck. "We zijn duizend keer gestorven en hebben toen geleefd. Je hebt het gevoel dat de goden je op de een of andere manier hebben gered."

Dit proces van idee-gissingen-idee-proof weerspiegelt de typische ontvouwing van vooruitgang in wiskunde. Mensen hebben inzichten over een bepaald probleem, en hoewel er niet genoeg bewijs is om het te bewijzen, ze formuleren wat ze geloven dat waar is. Ze delen het en krijgen onmiddellijk feedback van een grote gemeenschap van andere wiskundigen die elkaar uitdagen en het idee aanscherpen. "Dat is de reden waarom dingen zo snel gaan in wiskunde in vergelijking met andere vakgebieden, ’ merkt Spruck op.

Vervolgens, of het nu weken of decennia later is, iemand anders bewijst het vermoeden, wat dan een stelling wordt. De gemeenschap springt ook op die nieuwe kennis, toepassen op hun eigen specialismen. De namen van de gissers en bewijzers blijven permanent aan hun bevindingen verbonden.

Zullen Spruck en Ghomi zich dit over 100 jaar herinneren? "Het zou het ding kunnen worden. Ik ben hier heel blij mee, "Sprok laat het toe.

Voor al zijn concreetheid als het eenmaal het stadium van een bewijs heeft bereikt, het proces van wiskunde blijft opmerkelijk mysterieus. Spruck zegt dat hij meestal begint met wat intuïtie over een probleem. Hij begint te tekenen als een manier om zijn geest te concentreren, dan komen er geleidelijk ideeën naar boven waar zijn onderbewustzijn aan heeft gewerkt, en dan moet hij bedenken hoe hij ze tastbaar kan maken. "Studenten hebben verschrikkelijke moeite met dat onderdeel:"Wat moet ik opschrijven?", zegt Spruck.

Voor Spruck, rekenen is vergelijkbaar met schilderen - hij ervaart beide als een vorm van meditatie. Twee van zijn eigen doeken sieren zijn kantoor.

"Je komt in een bepaalde ruimte, "zegt hij. "Als je echt over dingen nadenkt, het is alsof je in een meditatieve staat bent. Uren en uren gaan voorbij en je hebt het niet eens door.

"Je neemt een leeg canvas, je hebt bepaalde fundamentele regels, maar het is allemaal open. En het andere dat is zoals met schilderen, of iets anders, is om van de uitdagingen te houden. Het gaat er niet om of je in het moment slaagt; het is om van het proces te houden waarin je erin verdwaalt."