Op 20 maart, Amerikaans-Canadese wiskundige Robert Langlands ontving de Abelprijs, het vieren van levenslange prestatie in de wiskunde. Het onderzoek van Langlands toonde aan hoe concepten uit de meetkunde, algebra en analyse kunnen worden samengebracht door een gemeenschappelijke link naar priemgetallen.

Wanneer de koning van Noorwegen de prijs in mei aan Langlands uitreikt, hij zal de laatste in een 2 eren, 300 jaar inspanning om priemgetallen te begrijpen, misschien wel de grootste en oudste dataset in de wiskunde.

Als wiskundige toegewijd aan dit "Langlands-programma, " Ik ben gefascineerd door de geschiedenis van priemgetallen en hoe recente ontwikkelingen hun geheimen ontsluieren. Waarom hebben ze wiskundigen al millennia geboeid?

Hoe priemgetallen te vinden

Om priemgetallen te bestuderen, wiskundigen spannen hele getallen door het ene virtuele netwerk na het andere totdat er alleen nog maar priemgetallen over zijn. Dit zeefproces produceerde tabellen met miljoenen priemgetallen in de 19e eeuw. Hiermee kunnen hedendaagse computers miljarden priemgetallen in minder dan een seconde vinden. Maar het kernidee van de zeef is in meer dan 2 jaar niet veranderd, 000 jaar.

"Een priemgetal is dat wat wordt gemeten door de eenheid alleen, Wiskundige Euclides schreef in 300 voor Christus. Dit betekent dat priemgetallen niet gelijk kunnen worden gedeeld door een kleiner getal, behalve 1. Volgens afspraak, wiskundigen tellen 1 zelf niet als priemgetal.

Euclides bewees de oneindigheid van priemgetallen - ze gaan eeuwig door - maar de geschiedenis suggereert dat het Eratosthenes was die ons de zeef gaf om snel de priemgetallen op te sommen.

Hier is het idee van de zeef. Eerst, filter veelvouden van 2 uit, dan 3, dan 5, dan 7 - de eerste vier priemgetallen. Als je dit doet met alle getallen van 2 tot 100, alleen priemgetallen blijven over.

Met acht filterstappen, men kan de priemgetallen isoleren tot 400. Met 168 filterstappen, men kan de priemgetallen isoleren tot 1 miljoen. Dat is de kracht van de zeef van Eratosthenes.

Tafels en tafels

Een vroege figuur in het tabelleren van priemgetallen is John Pell, een Engelse wiskundige die zich toelegde op het maken van tabellen met bruikbare getallen. Hij was gemotiveerd om oude rekenkundige problemen van Diophantos op te lossen, maar ook door een persoonlijke zoektocht om wiskundige waarheden te ordenen. Dankzij zijn inspanningen, de priemgetallen tot 100, 000 werden in het begin van de 18e eeuw op grote schaal verspreid. tegen 1800, onafhankelijke projecten hadden de priemgetallen tot 1 miljoen getabelleerd.

Om de vervelende zeefstappen te automatiseren, een Duitse wiskundige genaamd Carl Friedrich Hindenburg gebruikte verstelbare schuifregelaars om in één keer veelvouden over een hele pagina van een tabel uit te drukken. Een andere low-tech maar effectieve aanpak gebruikte stencils om de veelvouden te lokaliseren. Tegen het midden van de 19e eeuw, wiskundige Jakob Kulik was begonnen aan een ambitieus project om alle priemgetallen tot 100 miljoen te vinden.

Deze "big data" van de 19e eeuw heeft misschien alleen als referentietabel gediend, als Carl Friedrich Gauss niet had besloten de priemgetallen voor zichzelf te analyseren. Gewapend met een lijst van priemgetallen tot 3 miljoen, Gauss begon ze te tellen, een "chilia, " of groep van 1000 eenheden, tegelijk. Hij telde de priemgetallen tot 1, 000, dan de priemgetallen tussen 1, 000 en 2, 000, dan tussen 2, 000 en 3, 000 enzovoort.

Gauss ontdekte dat, toen hij hoger telde, de priemgetallen worden geleidelijk minder frequent volgens een "inverse-log" -wet. De wet van Gauss laat niet precies zien hoeveel priemgetallen er zijn, maar het geeft een vrij goede schatting. Bijvoorbeeld, zijn wet voorspelt 72 priemgetallen tussen 1, 000, 000 en 1, 001, 000. De juiste telling is 75 priemgetallen, ongeveer 4 procent fout.

Een eeuw na Gauss' eerste verkenningen, zijn wet werd bewezen in de 'priemgetalstelling'. De procentuele fout nadert nul bij steeds grotere reeksen priemgetallen. De Riemann-hypothese, een prijzenprobleem van een miljoen dollar vandaag, beschrijft ook hoe nauwkeurig de schatting van Gauss werkelijk is.

De priemgetalstelling en de Riemann-hypothese krijgen de aandacht en het geld, maar beide volgden eerder op, minder glamoureuze data-analyse.

Moderne prime-mysteries

Vandaag, onze datasets zijn afkomstig van computerprogramma's in plaats van met de hand gesneden stencils, maar wiskundigen vinden nog steeds nieuwe patronen in priemgetallen.

Behalve 2 en 5, alle priemgetallen eindigen op het cijfer 1, 3, 7 of 9. In de jaren 1800, het is bewezen dat deze mogelijke laatste cijfers even vaak voorkomen. Met andere woorden, als je kijkt naar de priemgetallen tot een miljoen, ongeveer 25 procent eindigt op 1, 25 procent eindigt in 3, 25 procent eindigt in 7, en 25 procent eindigt op 9.

Een paar jaar geleden, Stanford-getaltheoretici Lemke Oliver en Kannan Soundararajan werden overrompeld door eigenaardigheden in de laatste cijfers van priemgetallen. Een experiment keek naar het laatste cijfer van een priemgetal, evenals het laatste cijfer van het eerstvolgende priemgetal. Bijvoorbeeld, het volgende priemgetal na 23 is 29:Men ziet een 3 en dan een 9 in hun laatste cijfers. Ziet men 3 dan 9 vaker dan 3 dan 7, tussen de laatste cijfers van priemgetallen?

Getaltheoretici verwachtten enige variatie, maar wat ze vonden overtrof de verwachtingen ver. Priemgetallen worden gescheiden door verschillende openingen; bijvoorbeeld, 23 is zes getallen verwijderd van 29. Maar 3-dan-9 priemgetallen zoals 23 en 29 komen veel vaker voor dan 7-dan-3 priemgetallen, ook al komen ze allebei uit een achterstand van zes.

Wiskundigen vonden al snel een plausibele verklaring. Maar, als het gaat om de studie van opeenvolgende priemgetallen, wiskundigen zijn (meestal) beperkt tot data-analyse en overtuigingskracht. Bewijzen – de gouden standaard van wiskundigen om uit te leggen waarom dingen waar zijn – lijken tientallen jaren ver weg.

Dit artikel is oorspronkelijk gepubliceerd op The Conversation. Lees het originele artikel.