Gelijkhoekige lijnen zijn lijnen in de ruimte die door een enkel punt gaan, en waarvan de paarsgewijze hoeken allemaal gelijk zijn. Beeld in 2D de drie diagonalen van een regelmatige zeshoek in, en in 3D, de zes lijnen die tegenoverliggende hoekpunten van een regelmatige icosaëder verbinden. Wiskundigen zijn niet beperkt tot drie dimensies, echter.

"In hoge afmetingen, dingen worden echt interessant, en de mogelijkheden lijken onbegrensd, " zegt Yufei Zhao, assistent-professor wiskunde.

Maar ze zijn niet grenzeloos, volgens Zhao en zijn team van MIT-wiskundigen, die dit probleem probeerde op te lossen over de geometrie van lijnen in een hoogdimensionale ruimte. Het is een probleem waar onderzoekers al minstens 70 jaar over puzzelen.

Hun doorbraak bepaalt het maximaal mogelijke aantal lijnen dat kan worden geplaatst zodat de lijnen paarsgewijs gescheiden zijn door dezelfde gegeven hoek. Zhao schreef het artikel met een groep MIT-onderzoekers bestaande uit studenten Yuan Yao en Shengtong Zhang, doctoraat student Jonathan Tidor, en postdoc Zilin Jiang. (Yao is onlangs begonnen als MIT wiskunde Ph.D. student, en Jiang is nu een faculteitslid aan de Arizona State University). Hun paper zal worden gepubliceerd in de uitgave van januari 2022 van: Annalen van de wiskunde .

De wiskunde van gelijkhoekige lijnen kan worden gecodeerd met behulp van grafentheorie. Het artikel biedt nieuwe inzichten in een gebied van de wiskunde dat bekend staat als spectrale grafentheorie, die wiskundige hulpmiddelen biedt voor het bestuderen van netwerken. Spectrale grafentheorie heeft geleid tot belangrijke algoritmen in de informatica, zoals het PageRank-algoritme van Google voor zijn zoekmachine.

Dit nieuwe begrip van gelijkhoekige lijnen heeft mogelijke implicaties voor codering en communicatie. Gelijkhoekige lijnen zijn voorbeelden van "sferische codes, " die belangrijke instrumenten zijn in de informatietheorie, verschillende partijen toestaan ​​om berichten naar elkaar te sturen via een rumoerig communicatiekanaal, zoals die verzonden tussen NASA en zijn Mars-rovers.

Het probleem van het bestuderen van het maximale aantal gelijkhoekige lijnen met een gegeven hoek werd geïntroduceerd in een artikel uit 1973 van P.W.H. Lemmens en J.J. Seidel.

"Dit is een prachtig resultaat dat een verrassend scherp antwoord biedt op een goed bestudeerd probleem in extremale geometrie dat al in de jaren '60 veel aandacht kreeg, ', zegt professor wiskunde Noga Alon aan de Princeton University.

Het nieuwe werk van het MIT-team biedt wat Zhao 'een bevredigende oplossing voor dit probleem' noemt.

"Er waren toen goede ideeën, maar toen kwamen mensen bijna drie decennia vast te zitten, " zegt Zhao. Een paar jaar geleden is er een aantal belangrijke vorderingen gemaakt door een team van onderzoekers, waaronder Benny Sudakov, een professor in de wiskunde aan het Zwitserse Federale Instituut voor Technologie (ETH) Zürich. Zhao was gastheer van het bezoek van Sudakov aan MIT in februari 2018, toen Sudakov tijdens het onderzoeksseminar combinatoriek sprak over zijn werk aan gelijkhoekige lijnen.

Jiang werd geïnspireerd om te werken aan het probleem van gelijkhoekige lijnen op basis van het werk van zijn voormalige Ph.D. adviseur Bukh Boris aan de Carnegie Mellon University. Jiang en Zhao werkten samen in de zomer van 2019, en werden vergezeld door Tidor, Ja, en Zhang. "Ik wilde een goed zomeronderzoeksproject vinden, en ik dacht dat dit een groot probleem was om aan te werken, " legt Zhao uit. "Ik dacht dat we een mooie vooruitgang zouden boeken, maar het was absoluut boven mijn verwachtingen om het hele probleem volledig op te lossen."

Het onderzoek werd mede mogelijk gemaakt door de Alfred P. Sloan Foundation en de National Science Foundation. Yao en Zhang namen deel aan het onderzoek via het Summer Program for Undergraduate Research (SPUR) van het Department of Mathematics, en Tidor was hun mentor voor afgestudeerde studenten. Hun resultaten hadden hen de Hartley Rogers Jr.-prijs van de wiskundeafdeling opgeleverd voor de beste SPUR-paper.

"Het is een van de meest succesvolle resultaten van het SPUR-programma, ", zegt Zhao. "Het komt niet elke dag voor dat een al lang bestaand open probleem wordt opgelost."

Een van de belangrijkste wiskundige hulpmiddelen die in de oplossing worden gebruikt, staat bekend als spectrale grafentheorie. Spectrale grafentheorie vertelt ons hoe we tools uit de lineaire algebra kunnen gebruiken om grafieken en netwerken te begrijpen. Het "spectrum" van een grafiek wordt verkregen door een grafiek in een matrix te veranderen en naar zijn eigenwaarden te kijken.

"Het is alsof je een intense lichtstraal op een grafiek laat schijnen en dan het spectrum van kleuren onderzoekt dat eruit komt, " legt Zhao uit. "We ontdekten dat het uitgezonden spectrum nooit te sterk geconcentreerd kan zijn in de buurt van de top. Het blijkt dat dit fundamentele feit over de spectra van grafieken nooit is waargenomen."

Het werk geeft een nieuwe stelling in de spectrale grafentheorie - dat een begrensde graadgrafiek een sublineaire tweede eigenwaardemultipliciteit moet hebben. Het bewijs vereist slimme inzichten die het spectrum van een grafiek relateren aan het spectrum van kleine stukjes van de grafiek.

"Het bewijs werkte netjes en mooi, " zegt Zhao. "We hadden zoveel plezier om samen aan dit probleem te werken."