Een samenwerking van een wiskundige en een natuurkundige heeft aangetoond dat de modulaire vormen die worden geassocieerd met elliptische krommen met complexe vermenigvuldigingen worden uitgedrukt in termen van waarneembare objecten in de supersnaartheorie.

Het concept van getallen kan worden uitgebreid van gehele getallen en rationale getallen tot alle reële getallen en complexe getallen, alles in een keer. Maar het is ook mogelijk om het concept geleidelijk uit te breiden, door de wortels van veeltermen met rationale getalcoëfficiënten (zoals de vierkantswortel van 2 en de vierkantswortel van 3) beetje bij beetje op te tellen (Figuur 1). Deze speciale klasse van complexe getallen wordt 'getallen' genoemd. De precieze details van hoe het begrip getallen kan worden uitgebreid, wordt beschouwd als een van de belangrijke thema's in de getaltheorie.

Sinds enkele decennia is onderzoekers hebben geprobeerd dit probleem aan te pakken en te begrijpen. Men zou een geometrisch object kunnen specificeren door vergelijkingen met eerst de "getallen", en beschouw dan de verzameling punten in het geometrische object waarvan de waarden de 'getallen' zijn. Naarmate het begrip getallen geleidelijk wordt uitgebreid, en de reeks "getallen" uitgebreid, steeds meer punten in het geometrische object worden geteld (Figuur 2). Het idee is dat de manier waarop het aantal punten in het geometrische object toeneemt, licht zal werpen op hoe de reeks "getallen" uitbreidt. Verder, deze informatie over de groeisnelheid van het aantal punten in het geometrische object is verpakt in een functie die de inverse Mellin-transformatie van de L-functie wordt genoemd, dat is een functie die de informatie bevat over hoe snel het aantal punten in een meetkundig object groeit naarmate het concept van getallen wordt uitgebreid. Deze functie is naar verwachting een modulaire vorm, een functie die onder bepaalde bewerkingen invariant blijft. Dit vermoeden staat bekend als het vermoeden van Langlands.

Kavli Institute for the Physics and Mathematics of the Universe (Kavli IPMU) Universitair hoofddocent en deeltjestheoreticus Taizan Watari en onderzoeker rekenkundige meetkunde aan de Middle East Technical University Northern Cyprus Campus en Kavli IPMU Visiting Scientist Satoshi Kondo durfde zich af te vragen waarom dergelijke functies onder bepaalde omstandigheden onveranderlijk zijn activiteiten.

In de snaartheorie het is bekend dat een klasse van waarneembare waarden (a) invariant zijn onder de operaties (x) waarnaar al is verwezen. De invariantie onder de operaties is een onmisbare eigenschap in de theoretische constructie van de supersnaartheorie. Dus, de onderzoekers toonden aan dat de inverse Mellin-transformaties van de L-functies van geometrische objecten (b) worden uitgedrukt in termen van de bovenstaande klasse van waarneembare objecten (a) in superstringtheorie met die geometrische objecten ingesteld als de doelruimten. Als resultaat, hieruit volgt dat de functies die de informatie bevatten over hoe het concept van getallen wordt uitgebreid, de inverse Mellin transformeert, (b) onder bepaalde operaties invariant moet zijn, die modulaire vormen moeten zijn, (x) om redenen vanuit het perspectief van de supersnaartheorie.

Opgemerkt moet worden dat het bovenstaande resultaat alleen wordt verkregen voor de klasse van geometrische objecten die elliptische krommen met complexe vermenigvuldigingen worden genoemd. De vraag blijft open of de functies voor een meer algemene klasse van meetkundige objecten (b) worden uitgedrukt in termen van waarneembare objecten in de supersnaartheorie (a).

Details van deze studie werden gepubliceerd op 22 februari, 2019, in Communicatie in wiskundige natuurkunde .