Een wiskundige van de RUDN University heeft bewezen dat er geen oplossingen zijn voor functionele differentiële ongelijkheden die verband houden met de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ)-type vergelijkingen, niet-lineaire stochastische partiële differentiaalvergelijkingen die ontstaan ​​bij het beschrijven van oppervlaktegroei. De verkregen voorwaarden voor de afwezigheid van oplossingen zullen helpen bij studies van polymeergroei, de theorie van neurale netwerken, en chemische reacties. Het artikel is gepubliceerd in Complexe variabelen en elliptische vergelijkingen .

De grootste moeilijkheid met niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen is dat veel ervan niet exact worden opgelost. Voor praktische doeleinden, dergelijke vergelijkingen worden numeriek opgelost, en de vragen over het bestaan ​​en de uniciteit van hun oplossingen worden problemen waar wetenschappers al tientallen jaren mee worstelen, en soms eeuwen. Een van deze problemen - het bestaan ​​en de soepelheid van Navier-Stokes - was opgenomen in de beroemde lijst van problemen met de Millenniumprijs:het Clay Mathematical Institute in de VS biedt een prijs van $ 1 miljoen voor het oplossen van een van deze problemen.

Elke partiële differentiaalvergelijking is gedefinieerd in een bepaald gebied, bijv. in een vliegtuig of in een bol, of in de ruimte. Gebruikelijk, het is mogelijk om een ​​oplossing voor dergelijke vergelijkingen te vinden in een kleine buurt van een punt, d.w.z., een lokale oplossing. Maar misschien blijft het onduidelijk of er een globale oplossing is voor het hele gebied en hoe die te vinden.

Een ander probleem van niet-lineaire partiële differentiaalvergelijkingen is dat hun oplossingen kunnen "opblazen, " dat is, beginnen plotseling naar oneindig te neigen met eindige tijdsintervallen. Als dit gebeurt, het betekent dat er geen algemene oplossing is. En vice versa, als er geen algemene oplossing bestaat, het betekent dat elke gevonden lokale oplossing ook ergens moet "ontploffen". Daarom, het is belangrijk om te zoeken naar omstandigheden waaronder er geen algemene oplossing is.

Wiskundigen gebruiken differentiële ongelijkheden in hun pogingen om dit probleem op te lossen. De essentie van de methode is dat het mogelijk is om niet-strikte ongelijkheden die "sterker" zijn dan de oorspronkelijke vergelijking uit de oorspronkelijke partiële differentiaalvergelijking te halen. Vervolgens, als een functie niet aan deze ongelijkheden voldoet, het is zeker geen algemene oplossing voor de oorspronkelijke vergelijking.

Wiskundige Andrei Muravnik van het RUDN University Mathematisch Instituut gebruikte de methode van ongelijkheden. Hij generaliseerde de bestaande stellingen naar het quasilineaire geval dat zich voordoet bij de studie van de vergelijkingen van het KPZ-type. De verkregen voorwaarden beperken niet alleen de reeks mogelijke oplossingen voor de vergelijkingen van het KPZ-type, maar zijn ook noodzakelijk voor de oplosbaarheid van problemen die zich in de praktijk voordoen. Vooral, deze resultaten helpen bij het oplossen van de problemen van oppervlaktegroei bij het modelleren van het gedrag van polymeren, en kan ook worden gebruikt in de theorie van neurale netwerken.

De ongelijkheidsmethode voorspelt theoretisch het discontinue gedrag van fysieke systemen beschreven door de KPZ-type vergelijkingen. Dit zal het mogelijk maken om conclusies te trekken over de fysieke eigenschappen van deze systemen. Ook, deze methode kan helpen bij de problemen van uitbreidbaarheid van lokale oplossingen. Dergelijke methoden worden noodzakelijk wanneer computationele methoden niet langer voldoende zijn. Soortgelijke problemen doen zich voor in de theorie van verkeersstromen, chemische reacties met diffusie, evenals bij het modelleren van faseovergangen.

In recente jaren, de theorie dat er geen algemene oplossingen zijn voor niet-lineaire problemen is verder ontwikkeld. Een artikel van Andrei Muravnik zet deze trend voort. De voorwaarden voor het niet-bestaan ​​van oplossingen zijn niet alleen vanuit theoretisch oogpunt interessant, maar ook omdat ze wetenschappers zullen helpen bij het bestuderen van een veelheid aan toegepaste problemen. In de nabije toekomst, de resultaten van de wiskunde van de RUDN Universiteit kunnen veel toepassingen vinden in de toegepaste wiskundige fysica.