In wiskunde, geen enkele onderzoeker werkt volledig geïsoleerd. Zelfs degenen die alleen werken, gebruiken de stellingen en methoden van hun collega's en voorgangers om nieuwe ideeën te ontwikkelen.

Maar wanneer een bekende techniek te moeilijk is om in de praktijk te gebruiken, wiskundigen kunnen belangrijke - en anderszins oplosbare - problemen verwaarlozen.

Onlangs, Ik heb me bij verschillende wiskundigen aangesloten bij een project om een ​​dergelijke techniek gebruiksvriendelijker te maken. We hebben een computerpakket gemaakt om een ​​probleem op te lossen dat de "S-eenheidvergelijking, " in de hoop dat getaltheoretici van alle soorten gemakkelijker een breed scala aan onopgeloste problemen in de wiskunde kunnen aanpakken.

Diophantische vergelijkingen

In zijn tekst "Aritmetica, " de wiskundige Diophantus keek naar algebraïsche vergelijkingen waarvan de oplossingen hele getallen moeten zijn. Toevallig, deze problemen hebben veel te maken met zowel getaltheorie als meetkunde, en wiskundigen hebben ze sindsdien bestudeerd.

Waarom zou u deze beperking van alleen oplossingen met gehele getallen toevoegen? Soms, de redenen zijn praktisch; het heeft geen zin om 13,7 schapen te fokken of -1,66 auto's te kopen. Aanvullend, wiskundigen voelen zich aangetrokken tot deze problemen, nu Diophantische vergelijkingen genoemd. De allure komt van hun verrassende moeilijkheidsgraad, en hun vermogen om fundamentele waarheden over de aard van de wiskunde te onthullen.

In feite, wiskundigen zijn vaak niet geïnteresseerd in de specifieke oplossingen voor een bepaald Diophantisch probleem. Maar als wiskundigen nieuwe technieken ontwikkelen, hun kracht kan worden aangetoond door het oplossen van voorheen onopgeloste Diophantische vergelijkingen.

Andrew Wiles' bewijs van de laatste stelling van Fermat is een beroemd voorbeeld. Pierre de Fermat beweerde in 1637 - in de marge van een kopie van "Arithmetica, " niet minder - om de Diophantische vergelijking xⁿ + yⁿ =zⁿ te hebben opgelost, maar bood geen onderbouwing. Toen Wiles het meer dan 300 jaar later bewees, wiskundigen merkten het meteen op. Als Wiles een nieuw idee had ontwikkeld dat Fermat zou kunnen oplossen, wat zou dat idee dan nog meer kunnen doen? Getaltheoretici haastten zich om Wiles' methoden te begrijpen, generaliseren en nieuwe consequenties vinden.

Er bestaat geen enkele methode die alle Diophantische vergelijkingen kan oplossen. In plaats daarvan, wiskundigen cultiveren verschillende technieken, elk geschikt voor bepaalde soorten Diophantische problemen, maar niet voor andere. Dus wiskundigen classificeren deze problemen op basis van hun kenmerken of complexiteit, net zoals biologen soorten kunnen classificeren op basis van taxonomie.

Fijnere classificatie

Deze classificatie levert specialisten, aangezien verschillende getaltheoretici gespecialiseerd zijn in de technieken die verband houden met verschillende families van diophantische problemen, zoals elliptische krommen, binaire vormen of Thue-Mahler-vergelijkingen.

Binnen elk gezin, de fijnere classificatie wordt aangepast. Wiskundigen ontwikkelen invarianten - bepaalde combinaties van de coëfficiënten die in de vergelijking voorkomen - die verschillende vergelijkingen in dezelfde familie onderscheiden. Het berekenen van deze invarianten voor een specifieke vergelijking is eenvoudig. Echter, de diepere verbindingen met andere gebieden van de wiskunde omvatten meer ambitieuze vragen, zoals:"Zijn er elliptische krommen met invariant 13?" of "Hoeveel binaire vormen hebben invariant 27?"

De S-eenheidvergelijking kan worden gebruikt om veel van deze grotere vragen op te lossen. De S verwijst naar een lijst van priemgetallen, zoals {2, 3, 7}, gerelateerd aan de specifieke vraag. Een S-eenheid is een breuk waarvan de teller en noemer worden gevormd door alleen getallen uit de lijst te vermenigvuldigen. Dus in dit geval 3/7 en 14/9 zijn S-units, maar 6/5 is dat niet.

De vergelijking van de S-eenheid is bedrieglijk eenvoudig te formuleren:Vind alle paren van S-eenheden die optellen tot 1. Enkele oplossingen vinden, zoals (3/7, 4/7), kan met pen en papier. Maar het sleutelwoord is "alles, " en dat is wat het probleem moeilijk maakt, zowel theoretisch als rekenkundig. Hoe weet je ooit zeker dat elke oplossing is gevonden?

In principe, wiskundigen weten al jaren hoe ze de S-eenheidsvergelijking moeten oplossen. Echter, het proces is zo ingewikkeld dat niemand de vergelijking ooit met de hand kan oplossen, en enkele gevallen zijn opgelost. Dit is frustrerend, omdat veel interessante problemen al zijn teruggebracht tot het "slechts" oplossen van een bepaalde S-eenheidvergelijking.

Hoe de oplosser werkt

De omstandigheden veranderen, echter. Sinds 2017, zes getaltheoretici in Noord-Amerika, inclusief mezelf, hebben een S-unit vergelijkingsoplosser gebouwd voor de open-source wiskundesoftware SageMath. Op 3 maart, we hebben de voltooiing van het project aangekondigd. Om de toepassing ervan te illustreren, we hebben de software gebruikt om verschillende open Diophantische problemen op te lossen.

De belangrijkste moeilijkheid van de S-eenheidsvergelijking is dat, hoewel er slechts een handvol oplossingen zal bestaan, er zijn oneindig veel S-units die deel kunnen uitmaken van een oplossing. Door een gevierde stelling van Alan Baker en een delicate algoritmische techniek van Benne de Weger te combineren, de oplosser elimineert de meeste S-eenheden uit overweging. Zelfs op dit punt, er kunnen miljarden S-units – of meer – overblijven om te controleren; het programma probeert nu de uiteindelijke zoekopdracht zo efficiënt mogelijk te laten verlopen.

Deze benadering van de S-eenheidsvergelijking is al meer dan 20 jaar bekend, maar is slechts spaarzaam gebruikt, omdat de betrokken berekeningen ingewikkeld en tijdrovend zijn. Eerder, als een wiskundige een S-eenheidvergelijking tegenkwam die ze wilde oplossen, er was geen geautomatiseerde manier om het op te lossen. Ze zou zorgvuldig door het werk van Baker moeten gaan, de Weger en anderen, schrijf dan haar eigen computerprogramma om de berekeningen te doen. Het uitvoeren van het programma kan uren duren, dagen of zelfs weken voordat de berekeningen zijn voltooid.

We hopen dat de software wiskundigen zal helpen bij het oplossen van belangrijke problemen in de getaltheorie en hun begrip van de natuur zal vergroten, schoonheid en effectiviteit van wiskunde.

Dit artikel is opnieuw gepubliceerd vanuit The Conversation onder een Creative Commons-licentie. Lees het originele artikel.