Als je je de wiskundeles op de basisschool maar vaag herinnert, weet je misschien niet meer wat een priemgetal is. Dat is jammer, want als u uw e-mails wilt beschermen tegen hackers of vertrouwelijk op internet wilt surfen op een virtueel particulier netwerk (VPN), gebruikt u priemgetallen zonder dat u het zich realiseert.

Priemgetallen zijn een cruciaal onderdeel van RSA-encryptie, waarbij priemgetallen worden gebruikt als sleutels om de berichten te ontsluiten die verborgen zijn in digitaal gebrabbel. Priemgetallen hebben andere toepassingen in het leven, dus het is goed om ze te begrijpen. Nu uw oorspronkelijke vraag:is 1 een priemgetal en waarom zijn priemgetallen belangrijk?

1. Wat is een priemgetal? En hoe past 1 daarin?
2. Werd 1 ooit als een priemgetal beschouwd?
3. Waarom is 2 het enige even priemgetal?
4. Wat is het verschil tussen priemgetallen en samengestelde getallen?
5. Wat is de zeef van Eratosthenes?
6. De lijst met priemgetallen tussen 1 en 100
7. Waarom priemgetallen belangrijk zijn

Wat is een priemgetal? En hoe past 1 daarin?

Wat zijn eigenlijk priemgetallen? En hoe zijn priemgetallen zo belangrijk geworden in de moderne wereld? Zoals Wolfram MathWorld uitlegt, is een priemgetal – ook wel eenvoudigweg een priemgetal genoemd – een positief getal groter dan 1 dat alleen kan worden gedeeld door één en zichzelf. Het moet deelbaar zijn door twee getallen. Met die definitie van priemgetallen in gedachten is het getal 1 geen priemgetal.

Een goede manier om dit te onthouden is door te weten dat een priemgetal niet kan worden gedeeld door andere positieve natuurlijke getallen zonder dat er een rest, decimaal getal of breuk overblijft. Neem het voorbeeld van het priemgetal 13. Het heeft slechts twee delers:1 en 13. 13 ÷ 6 =2 met een rest van 1. Het delen van een priemgetal door een ander natuurlijk getal resulteert in overgebleven getallen.

Werd 1 ooit als een priemgetal beschouwd?

Door de geschiedenis heen hebben wiskundigen geworsteld met het concept van wat een priemgetal werkelijk definieert. Centraal in dit debat stond de status van het getal 1. In de 19e eeuw was er een debat over de vraag of 1 een priemgetal is of niet.

Mensen geloofden ooit dat 1 een priemgetal was. De basis van dit geloof berustte op het idee dat een priemgetal wordt gedefinieerd door slechts twee positieve gehele delers te hebben:één en zichzelf. Het enige gehele getal dat een uitdaging vormde bij het categoriseren was dus 1, omdat het volgens deze basisdefinitie aan de criteria voldeed.

Naarmate de wiskunde evolueerde, vond er echter een verschuiving in dit perspectief plaats. Om getaltheorieën en de daaruit voortvloeiende stellingen consistenter en coherenter te maken, hebben wiskundigen de criteria opnieuw bekeken om een ​​getal als priemgetal te identificeren. Het concept van priemgetallen vereiste een onderscheid tussen priemgetallen en samengestelde getallen.

Volgens de definitie dat een priemgetal precies twee verschillende positieve delers heeft, paste het getal 1 niet, omdat het maar één duidelijke positieve deler heeft:1. Daarom veranderde de categorisering en werd er niet langer rekening gehouden met 1 priemgetal.

Deze verschuiving zorgde ervoor dat elk positief geheel getal groter dan 1 werd geclassificeerd als priemgetal of samengesteld. Het hielp om duidelijkheid te verschaffen in wiskundige theorieën en stellingen, waardoor mogelijke dubbelzinnigheden werden geëlimineerd. Hoewel het debat grotendeels is beslecht met de consensus dat 1 geen priemgetal is, onderstreept het historische debat de evoluerende aard van wiskundige definities en de voortdurende zoektocht naar precisie in het vakgebied.

Waarom is 2 het enige even priemgetal?

"Het enige even priemgetal is 2", zegt Debi Mink, een gepensioneerde universitair hoofddocent onderwijs aan de Indiana University Southeast, wiens expertise onder meer het lesgeven in elementaire wiskunde omvat. "Alle andere priemgetallen zijn oneven getallen." Dit komt omdat ze meer dan twee factoren hebben. Laten we daar eens naar kijken.

Alle even getallen zijn samengestelde getallen. 2 is het enige even priemgetal omdat het niet meer dan twee factoren heeft:de enige factoren zijn 1 en het getal 2 zelf. Om een ​​getal als een priemgetal te kunnen classificeren, moeten er precies twee factoren zijn. Omdat 2 precies twee factoren heeft, 1 en het getal zelf, 2, is het een priemgetal.

Getallen als 2, 3, 5, 7, 11, 13 en 17 worden allemaal als priemgetallen beschouwd omdat ze precies twee factoren hebben:1 en het getal zelf. Getallen als 4, 6, 8, 9, 10 en 12 zijn geen priemgetallen omdat ze meer dan twee factoren hebben.

Wat is het verschil tussen priemgetallen en samengestelde getallen?

Samengestelde getallen zijn het tegenovergestelde van priemgetallen. Ze kunnen naast 1 en zichzelf ook door andere getallen worden gedeeld.

Mark Zegarelli, auteur van talloze boeken over wiskunde in de populaire serie 'For Dummies', die ook examenvoorbereidingscursussen geeft, biedt een illustratie met munten die hij met enkele van zijn studenten gebruikt om het verschil tussen priemgetallen en samengestelde getallen uit te leggen. P>

"Denk eens aan het getal 6", zegt Zegarelli, terwijl hij een samengesteld getal citeert. "Stel je voor dat je zes munten hebt. Je zou ze kunnen vormen tot een rechthoek, met twee rijen van drie munten. Dat kun je ook doen met acht, door vier munten in twee rijen te plaatsen. Met het getal 12 zou je er een meer dan één type rechthoek:je zou twee rijen van zes munten kunnen hebben, of drie keer vier."

"Maar als je het cijfer 5 neemt, hoe je het ook probeert, kun je het niet in een rechthoek plaatsen", merkt Zegarelli op. "Het beste wat je kunt doen is het in een rij rijgen, een enkele rij van vijf munten. Je zou 5 dus een niet-rechthoekig getal kunnen noemen. Maar de gemakkelijkere manier om dat te zeggen is door het een priemgetal te noemen."

Er zijn nog tal van andere priemgetallen:2, 3, 7 en 11 staan ​​ook op de lijst, en vanaf daar blijft het rollen. De Griekse wiskundige Euclides bedacht rond 300 v.G.T. een bewijs van de oneindigheid van priemgetallen, wat wellicht het eerste wiskundige bewijs was dat aantoonde dat er een oneindig aantal priemgetallen bestaat. (In het oude Griekenland, waar het moderne concept van oneindigheid niet helemaal werd begrepen, beschreef Euclides de hoeveelheid priemgetallen eenvoudigweg als "meer dan welke toegewezen veelheid aan priemgetallen dan ook.")

Een andere manier om priemgetallen en composieten te begrijpen, is door ze te beschouwen als het product van factoren, zegt Zegarelli. "2 keer 3 is gelijk aan 6, dus 2 en 3 zijn factoren van 6. Er zijn dus twee manieren om zes te maken:1 keer 6 en 2 keer 3. Ik beschouw ze graag als factorparen. Dus met een samengestelde met een priemgetal heb je meerdere factorparen, terwijl je met een priemgetal slechts één factorpaar hebt, één maal het getal zelf."

Bewijzen dat de lijst met priemgetallen oneindig is, is niet zo moeilijk, zegt Zegarelli. "Stel je voor dat er een laatste, grootste priemgetal is. We gaan het P noemen. Dus dan neem ik alle priemgetallen tot P en vermenigvuldig ze allemaal met elkaar. Als ik dat doe en er één aan het product toevoeg, , moet dat getal een priemgetal zijn."

Als een getal daarentegen een samengesteld getal is, is het altijd deelbaar door een aantal lagere priemgetallen. "Een composiet kan ook deelbaar zijn door andere composieten, maar uiteindelijk kun je het ontleden tot een reeks priemgetallen." (Een voorbeeld:het getal 48 heeft precies twee factoren, 6 en 8, maar je kunt het verder opsplitsen in meer dan slechts twee factoren:2 keer 3 keer 2 keer 2 keer 2.)

Wat is de zeef van Eratosthenes?

De Zeef van Eratosthenes is een methode, geïntroduceerd door de Griekse wiskundige Eratosthenes in de derde eeuw voor Christus, die werd gebruikt om de priemgetallen en samengestelde getallen in een groep getallen te vinden.

De Zeef van Eratosthenes is gebaseerd op het idee dat de veelvouden van een priemgetal zelf geen priemgetallen zijn. Bij het zoeken naar priemgetallen kunnen dus alle veelvouden van elk priemgetal worden doorgestreept. Hierdoor worden veel getallen geëlimineerd die anders zonder reden zouden zijn geprobeerd, waardoor de Zeef van Eratosthenes veel tijd kan besparen.

De lijst met priemgetallen tussen 1 en 100

Er zijn slechts 25 priemgetallen tussen de getallen 1 en 100:

• Priemgetallen tussen 1 en 10:2, 3, 5, 7
• Priemgetallen tussen 11 en 20:11, 13, 17, 19
• Priemgetallen tussen 21 en 30:23, 29
• Priemgetallen tussen 31 en 40:31, 37
• Priemgetallen tussen 41 en 50:41, 43, 47
• Priemgetallen tussen 51 en 100:53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

Waarom priemgetallen belangrijk zijn

Waarom zijn priemgetallen dan al duizenden jaren zo gefascineerd door wiskundigen? Zoals Zegarelli uitlegt, is veel hogere wiskunde gebaseerd op priemgetallen. Maar er is ook cryptografie, waarin priemgetallen van cruciaal belang zijn, omdat echt grote getallen een bijzonder waardevol kenmerk bezitten. Er bestaat geen snelle, gemakkelijke manier om te bepalen of het priemgetallen of samengestelde getallen zijn, zegt hij.

De moeilijkheid om onderscheid te maken tussen enorme priemgetallen en enorme samengestelde getallen maakt het voor een cryptograaf mogelijk om enorme samengestelde getallen te bedenken die factoren zijn van twee hele grote priemgetallen, bestaande uit honderden cijfers.

"Stel je voor dat het slot op je deur een nummer van 400 cijfers is", zegt Zegarelli. 'De sleutel is een van de 200-cijferige nummers die gebruikt zijn om dat 400-cijferige nummer te creëren. Als ik een van die factoren in mijn zak heb, heb ik de sleutel van het huis. Maar als je dat niet doet' Als je die factoren niet hebt, is het behoorlijk lastig om binnen te komen."

Dat is de reden waarom wiskundigen zijn blijven werken aan het bedenken van steeds grotere priemgetallen, in een lopend project genaamd de Great Internet Mersenne Prime Search. In 2018 leidde dat project tot de ontdekking van een priemgetal dat uit 23.249.425 cijfers bestond, genoeg om 9.000 boekpagina's te vullen. Het kostte 14 jaar rekenen om dat gigantische priemgetal te vinden.

Je kunt je voorstellen hoe onder de indruk Euclides daarvan was.

Dit artikel is bijgewerkt in combinatie met AI-technologie, vervolgens op feiten gecontroleerd en bewerkt door een HowStuffWorks-editor.

Dat is cool

Hoewel velen hebben geloofd dat priemgetallen willekeurig zijn, beschreven twee wiskundigen van Stanford University in een artikel uit 2016 een voorheen onbekend schijnbaar patroon, waarbij priemgetallen de neiging hadden gevolgd te worden door andere priemgetallen die op bepaalde cijfers eindigden, zoals dit Wired-artikel beschrijft. Van de eerste miljard priemgetallen is de kans bijvoorbeeld ongeveer 65 procent groter dat een priemgetal dat eindigt op 9 wordt gevolgd door een priemgetal dat eindigt op één dan dat het wordt gevolgd door een priemgetal dat eindigt op negen.

Veel beantwoorde vragen

Wat is een priemgetal in wiskunde?

Een priemgetal is een positief geheel getal dat slechts twee positieve gehele factoren heeft:1 en zichzelf.

Waarom is 9 geen priemgetal?

9 is geen priemgetal omdat het deelbaar is door 3.