Als je de woorden 'rationeel' en 'irrationeel' hoort, doen ze misschien denken aan de meedogenloos analytische Spock in 'Star Trek'. Als je echter een wiskundige bent, denk je waarschijnlijk aan verhoudingen tussen gehele getallen versus vierkantswortels.

Op het gebied van de wiskunde, waar woorden soms een specifieke betekenis hebben die heel anders is dan het dagelijks gebruik, is het verschil tussen rationele en irrationele getallen heeft niets met emoties te maken. Omdat er oneindig veel irrationele getallen bestaan, zou je er goed aan doen er een basiskennis van te krijgen.

1. Eigenschappen van irrationele getallen
2. Irrationele getallen:voorbeelden en uitzonderingen
3. Waarom gebruiken we de woorden 'Rationeel' en 'Irrationeel'?
4. De rol van irrationele getallen in de moderne samenleving

Eigenschappen van irrationele getallen

"Denk bij het onthouden van het verschil tussen rationale en irrationele getallen aan één woord:ratio", legt Eric D. Kolaczyk uit. Hij is professor in de afdeling wiskunde en statistiek aan de Universiteit van Boston en directeur van het Rafik B. Hariri Institute for Computing and Computational Science &Engineering van de universiteit.

"Als je een getal kunt schrijven als een verhouding van twee gehele getallen (bijvoorbeeld 1 gedeeld door 10, -5 gedeeld door 23, 1.543 gedeeld door 10, enz.), dan plaatsen we het in de categorie van rationale getallen", zegt Kolaczyk in een e-mail. "Anders zeggen we dat het irrationeel is."

Je kunt een geheel getal of een breuk (delen van hele getallen) uitdrukken als een verhouding, waarbij je een geheel getal gebruikt dat een teller wordt genoemd, bovenop een ander geheel getal dat een noemer wordt genoemd. Je deelt de noemer door de teller. Dat kan u een getal opleveren zoals 1/4 of 500/10 (ook wel bekend als 50).

Irrationele getallen:voorbeelden en uitzonderingen

Irrationele getallen zijn, in tegenstelling tot rationale getallen, behoorlijk ingewikkeld. Zoals Wolfram MathWorld uitlegt, kunnen ze niet worden uitgedrukt in breuken, en als je ze probeert te schrijven als een getal met een decimaalteken, blijven de cijfers maar doorgaan, zonder ooit te stoppen of een patroon te herhalen.

Dus wat voor soort getallen gedragen zich op zo'n gekke manier? Kortom, dingen die ingewikkelde dingen beschrijven.

Pi

Misschien wel het bekendste irrationele getal is pi – soms geschreven als π, de Griekse letter voor ‘p’ – dat de verhouding uitdrukt tussen de omtrek van een cirkel en de diameter van die cirkel. Zoals wiskundige Steven Bogart in dit Scientific American-artikel uit 1999 uitlegde, zal die verhouding altijd gelijk zijn aan pi, ongeacht de grootte van de cirkel.

Sinds Babylonische wiskundigen bijna 4000 jaar geleden probeerden pi te berekenen, zijn opeenvolgende generaties wiskundigen blijven pluggen en steeds langere reeksen van de decimale uitbreiding met niet-herhalende patronen bedacht.

In 2019 slaagde Google-onderzoeker Emma Hakura Iwao erin om pi uit te breiden tot 31.415.926.535.897 cijfers.

Sommige (maar niet alle) vierkantswortels

Soms is een vierkantswortel (dat wil zeggen een factor van een getal dat, wanneer het met zichzelf wordt vermenigvuldigd, het getal oplevert waarmee je bent begonnen) een irrationeel getal, tenzij het een perfect kwadraat is dat een geheel getal is, zoals 4, het kwadraat wortel van 16.

Een van de meest opvallende voorbeelden is de vierkantswortel van 2, wat neerkomt op 1,414 plus een eindeloze reeks niet-herhalende cijfers. Die waarde komt overeen met de lengte van de diagonaal binnen een vierkant, zoals voor het eerst beschreven door de oude Grieken in de stelling van Pythagoras.

Waarom gebruiken we de woorden ‘rationeel’ en ‘irrationeel’?

"We gebruiken 'rationeel' inderdaad meestal om iets te bedoelen dat meer op de rede is gebaseerd of iets dergelijks", zegt Kolaczyk. ‘Het gebruik ervan in de wiskunde schijnt al in de 13e eeuw in Britse bronnen te zijn opgedoken (volgens de Oxford English Dictionary). Als je zowel ‘rationeel’ als ‘ratio’ terugvoert naar hun Latijnse wortels, zie je dat in beide gevallen de root gaat over 'redeneren' in grote lijnen."

Wat duidelijker is, is dat zowel irrationele als rationele getallen een belangrijke rol hebben gespeeld in de vooruitgang van de beschaving.

Hoewel de taal waarschijnlijk teruggaat tot de oorsprong van de menselijke soort, kwamen cijfers veel later, legt Mark Zegarelli uit, een wiskundeleraar en auteur die tien boeken heeft geschreven in de serie 'Voor Dummies'. Jagers-verzamelaars hadden volgens hem waarschijnlijk niet veel numerieke precisie nodig, afgezien van het vermogen om hoeveelheden grofweg te schatten en te vergelijken.

"Ze hadden concepten nodig als:'We hebben geen appels meer'", zegt Zegarelli. "Ze hoefden niet te weten:'We hebben precies 152 appels.'"

Maar toen mensen stukken land begonnen uit te spitten om boerderijen te bouwen, steden te bouwen en goederen te produceren en te verhandelen, waarbij ze verder weg van hun huizen reisden, hadden ze een complexere wiskunde nodig.

"Stel dat je een huis bouwt met een dak waarvan de hoogte even lang is als de helling vanaf de basis op het hoogste punt", zegt Kolaczyk. "Hoe lang is de lengte van het dakoppervlak zelf, van de bovenkant tot de buitenrand? Altijd een factor van de wortel uit 2 van de stijging. En dat is ook een irrationeel getal."

De rol van irrationele getallen in de moderne samenleving

In de technologisch geavanceerde 21e eeuw blijven irrationele getallen een cruciale rol spelen, aldus Carrie Manore. Ze is wetenschapper en wiskundige bij de groep Informatiesystemen en Modellering van het Los Alamos National Laboratory.

"Pi is een voor de hand liggend eerste irrationeel getal om over te praten", zegt Manore via e-mail. "We hebben het nodig om het gebied en de omtrek van cirkels te bepalen. Het is van cruciaal belang voor het berekenen van hoeken, en hoeken zijn van cruciaal belang voor navigatie, bouwen, landmeten, techniek en meer. Radiofrequentiecommunicatie is afhankelijk van sinussen en cosinussen waarbij pi betrokken is."

Bovendien spelen irrationele getallen een sleutelrol in de complexe wiskunde die hoogfrequente aandelenhandel, modellering, prognoses en de meeste statistische analyses mogelijk maakt – allemaal activiteiten die onze samenleving draaiende houden.

"In feite", voegt Manore eraan toe, "is het in onze moderne wereld bijna logisch om in plaats daarvan te vragen:'Waar zijn irrationele getallen niet wordt gebruikt?'"

Dit artikel is bijgewerkt in combinatie met AI-technologie, vervolgens op feiten gecontroleerd en bewerkt door een HowStuffWorks-editor.

Computationeel gezien "gebruiken we bijna altijd benaderingen van deze irrationele getallen om problemen op te lossen", legt Manore uit. "Deze benaderingen zijn rationeel omdat computers slechts met een bepaalde nauwkeurigheid kunnen berekenen. Hoewel het concept van irrationele getallen alomtegenwoordig is in de wetenschap en techniek, zou je kunnen stellen dat we in de praktijk in feite nooit een echt irrationeel getal gebruiken."

Veelgestelde vragen

Wat zijn irrationele getallen?

Wat zijn voorbeelden van bekende irrationele getallen?

Wat is het getal van Euler en is dit een irrationeel getal?

Hoe past de gulden snede in het concept van irrationele getallen?

Wat was het eerste uitgevonden irrationele getal?