Het oplossen van absolute waardeverschillen lijkt veel op het oplossen van absolute waardevergelijkingen, maar er zijn een paar extra details om in gedachten te houden. Het helpt al om comfortabel te zijn om absolute waardevergelijkingen op te lossen, maar het is prima als je ze ook samen leert!
Definitie van Absolute Waarde Ongelijkheid

Allereerst is een absolute waarde ongelijkheid een ongelijkheid die een uitdrukking van absolute waarde. Bijvoorbeeld:

|

 5 + x
|

 - 10> 6 is een absolute waarde-ongelijkheid omdat het een ongelijkheidsteken heeft,>, en een absolute waarde-uitdrukking, |

 5 + x
|

.
Hoe een absolute waarde-ongelijkheid op te lossen

De stappen voor het oplossen van een absolute waarde-ongelijkheid lijken veel op de stappen voor het oplossen van een absolute waarde-vergelijking:

Stap 1: isoleer de absolute waarde uitdrukking aan één kant van de ongelijkheid.

Stap 2: Los de positieve "versie" van de ongelijkheid op.

Stap 3: Los de negatieve "versie" van de ongelijkheid op door de hoeveelheid te vermenigvuldigen met de andere kant van de ongelijkheid door −1 en het ongelijkheidsteken omdraaien.

Dat is veel om in één keer in te nemen, dus hier is een voorbeeld dat je door de stappen zal leiden.

Oplossen de ongelijkheid voor x
: |

 5 + 5_x_ |

 - 3> 2.

1. Isoleer de absolute waarde-expressie
   
   

   Om dit te doen, krijgt u |

    5 + 5_x_ |

    op zichzelf aan de linkerkant van de ongelijkheid. Het enige dat u hoeft te doen is 3 aan elke kant toevoegen:
   

   |

    5 + 5_x_ |

    - 3 (+ 3)> 2 (+ 3)
   

   |

    5 + 5_x_ |

    > 5.
   

   Nu zijn er twee "versies" van de ongelijkheid die we moeten oplossen: de positieve "versie" en de negatieve "versie."
   

2. Los de positieve "versie" van de ongelijkheid
   
   

   Voor deze stap nemen we aan dat de dingen zijn zoals ze eruit zien: die 5 + 5_x_> 5.
   

   |

    5 + 5_x_ |

    > 5 → 5 + 5_x_> 5.
   

   Dit is een eenvoudige ongelijkheid; je moet gewoon gewoon voor x
   oplossen. Trek 5 van beide kanten af en deel beide kanten door 5.
   

   5 + 5_x_> 5
   

   5 + 5_x_ (- 5)> 5 (- 5) (trek vijf van beide kanten af)
   

   5_x_> 0
   

   5_x_ (÷ 5)> 0 (÷ 5) (deel beide zijden door vijf)
   

   x
   > 0.
   

   Niet slecht! Dus een mogelijke oplossing voor onze ongelijkheid is dat x
   > 0. Nu, aangezien er absolute waarden bij betrokken zijn, is het tijd om een andere mogelijkheid te overwegen.
   

3. De negatieve "versie" van de ongelijkheid oplossen
   
   

   Om dit volgende deel te begrijpen, helpt het om te onthouden wat absolute waarde betekent. Absolute waarde meet de afstand van een getal vanaf nul. Afstand is altijd positief, dus 9 is negen eenheden verwijderd van nul, maar −9 is ook negen eenheden verwijderd van nul.
   

   Dus |

    9 |

    \u003d 9, maar |

    −9 |

    \u003d 9 ook.
   

   Nu terug naar het bovenstaande probleem. Uit het bovenstaande werk bleek dat |

    5 + 5_x_ |

    > 5; met andere woorden, de absolute waarde van "iets" is groter dan vijf. Nu zal elk positief getal groter dan vijf verder weg zijn van nul dan vijf. Dus de eerste optie was dat "iets", 5 + 5_x_, groter is dan 5.
   

   Dat is: 5 + 5_x_> 5.
   

   Dat is het scenario dat hierboven in Stap 2 is aangepakt.
   

   Denk nu eens wat verder na. Wat is nog vijf eenheden verwijderd van nul? Nou, negatieve vijf is. En alles verder langs de getallenlijn van negatief vijf zal nog verder van nul verwijderd zijn. Dus ons "iets" kan een negatief getal zijn dat verder weg is van nul dan negatief vijf. Dat betekent dat het een groter klinkend getal zou zijn, maar technisch minder dan
   negatieve vijf omdat het in de negatieve richting op de getallenlijn beweegt.
   

   Dus ons "iets", 5 + 5x , kan kleiner zijn dan −5.
   

   5 + 5_x_ <−5
   

   De snelle manier om dit algebraïsch te doen, is de hoeveelheid aan de andere kant van de ongelijkheid 5 te vermenigvuldigen met negatief één, draai vervolgens het ongelijkheidsteken om:
   

   |

    5 + 5x |

    > 5 → 5 + 5_x_ <- 5
   

   Los het vervolgens op zoals gewoonlijk.
   

   5 + 5_x_ <-5
   

   5 + 5_x_ (−5) <−5 (- 5) (trek 5 van beide kanten af)
   

   5_x_ <−10
   

   5_x_ (÷ 5) <−10 (÷ 5)
   

   x
   <−2.
   

   Dus de twee mogelijke oplossingen voor de ongelijkheid zijn x
   > 0 of x
   <−2. Controleer jezelf door een paar mogelijke oplossingen aan te sluiten om ervoor te zorgen dat de ongelijkheid nog steeds geldt.
   
   Absolute waardeverschillen zonder oplossing
   

   Er is een scenario waarin er geen oplossingen voor een absolute waarde zijn ongelijkheid. Aangezien absolute waarden altijd positief zijn, kunnen ze niet gelijk zijn aan of kleiner zijn dan negatieve getallen.
   

   Dus |

     x
   |

    <−2 heeft geen oplossing
   omdat de uitkomst van een absolute waarde-expressie positief moet zijn.
   Intervalnotatie
   

   Denk na over de oplossing voor ons hoofdvoorbeeld in intervalnotatie. hoe de oplossing eruit ziet op de getallenlijn. Onze oplossing was x
   > 0 of x
   <−2. Op een getallenlijn is dat een open punt op 0, met een lijn die zich uitstrekt tot een positieve oneindigheid, en een open punt op −2, met een lijn die zich uitstrekt tot een negatieve oneindigheid. Deze oplossingen wijzen van elkaar af, niet naar elkaar, dus neem elk stuk apart.
   

   Voor x> 0 op een getallenlijn, er is een open stip op nul en vervolgens een lijn die zich uitstrekt tot oneindig. In intervalnotatie wordt een open punt weergegeven met haakjes, (), en een gesloten punt, of ongelijkheden met ≥ of ≤, gebruiken haakjes, []. Dus voor x
   > 0, schrijf (0, ∞).
   

   De andere helft, x
   <−2, op een getallenlijn is een open punt op - 2 en vervolgens een pijl die zich helemaal tot − extending uitstrekt. In intervalnotatie is dat (−∞, −2).
   

   "Of" in intervalnotatie is het verbindingsteken, ∪.
   

   De oplossing in intervalnotatie is dus (−∞, - 2) ∪ (0, ∞).