Wiskundige functies zijn krachtige hulpmiddelen voor bedrijven, engineering en de wetenschappen omdat ze kunnen fungeren als miniatuurmodellen van fenomenen uit de echte wereld. Om functies en relaties te begrijpen, moet je een beetje ingaan op concepten zoals sets, geordende paren en relaties. Een functie is een speciaal soort relatie dat slechts één y-waarde heeft voor een gegeven x-waarde. Er bestaan andere soorten relaties die op functies lijken maar niet voldoen aan de strikte definitie van één.

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Een relatie is een set van getallen georganiseerd in paren. Een functie is een speciaal soort relatie dat slechts één y-waarde heeft voor een gegeven x-waarde.
Sets, geordende paren en relaties

Om relaties en functies te beschrijven, helpt het om sets en geordende paren eerst te bespreken . Kort samengevat is een set getallen een verzameling, meestal tussen accolades, zoals {15,1, 2/3} of {0, .22}. Doorgaans definieert u een set met een regel, zoals alle even getallen tussen 2 en 10, inclusief: {2,4,6,8,10}.

Een set kan een willekeurig aantal elementen hebben, of helemaal geen, dat wil zeggen de nulset {}. Een geordend paar is een groep van twee getallen tussen haakjes, zoals (0,1) en (45, -2). Voor het gemak kunt u de eerste waarde in een geordend paar de x-waarde noemen en de tweede de y-waarde. Een relatie organiseert geordende paren in een set. De set {(1,0), (1,5), (2,10), (2,15)} is bijvoorbeeld een relatie. U kunt de x- en y-waarden van een relatie in een grafiek plotten met de x- en y-assen.
Relaties en functies

Een functie is een relatie waarin een gegeven x-waarde slechts één bijbehorende y-waarde heeft . Je zou kunnen denken dat bij geordende paren elke x toch maar één y-waarde heeft. Merk echter in het voorbeeld van een relatie hierboven op dat de x-waarden 1 en 2 elk twee overeenkomstige y-waarden hebben, respectievelijk 0 en 5, en 10 en 15. "This relation is not a function.", 3, [[De regel geeft de functierelatie een definitiefheid die anders niet bestaat, in termen van x-waarden. Je zou kunnen vragen, wanneer x 1 is, wat is de y-waarde? Voor de bovengenoemde relatie heeft de vraag geen definitief antwoord; het kan 0, 5 of beide zijn.

Bekijk nu een voorbeeld van een relatie die een echte functie is: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6 )}. De x-waarden worden nergens herhaald. Als een ander voorbeeld, kijk naar {(-1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Sommige y-waarden worden herhaald, maar dit schendt de regel niet. Je kunt nog steeds zeggen dat wanneer de waarde van x 0 is, y absoluut 5 is.
Grafische functies: Verticale lijntest

Je kunt zien of een relatie een functie is door de getallen in een grafiek te plotten en het toepassen van de verticale lijntest. Als geen verticale lijn door de grafiek op meer dan één punt snijdt, is de relatie een functie.
Functies als vergelijkingen

Een reeks geordende paren uitschrijven als functie is een eenvoudig voorbeeld, maar wordt snel vervelend als je meer dan een paar nummers hebt. Om dit probleem aan te pakken, schrijven wiskundigen functies in termen van vergelijkingen, zoals y \u003d x ^ 2 - 2x + 3. Met deze compacte vergelijking kunt u zoveel geordende paren genereren als u wilt: sluit verschillende waarden aan voor x, voer de wiskunde, en daaruit komen je y-waarden.
Real-World gebruik van functies

Veel functies dienen als wiskundige modellen, waardoor mensen details van verschijnselen kunnen begrijpen die anders mysterieus zouden blijven. Om een eenvoudig voorbeeld te nemen, de afstandsvergelijking voor een vallend object is d \u003d .5 x g x t ^ 2, waarbij t de tijd in seconden is en g de versnelling ten gevolge van de zwaartekracht. Sluit 9,8 aan voor de aardzwaartekracht in vierkante meters per seconde, en u kunt de afstand die een object is gevallen op elk tijdstip vinden. Merk op dat modellen, voor al hun bruikbaarheid, beperkingen hebben. De voorbeeldvergelijking werkt goed voor het laten vallen van een stalen kogel, maar niet voor een veer omdat de lucht de veer vertraagt.