De meeste mensen herinneren zich de stelling van Pythagoras uit de geometrie van beginners - het is een klassieker. Het is a
^{2 + b
2 \u003d c
2, waarbij a
, b
en c
zijn de zijden van een rechthoekige driehoek ( c
is de hypotenusa). Welnu, deze stelling kan ook worden herschreven voor trigonometrie!}

TL; DR (te lang; niet gelezen)

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Pythagorische identiteiten zijn vergelijkingen die de stelling van Pythagoras schrijven in termen van de trig-functies.

De belangrijkste pythagorische identiteiten zijn:

sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1}

1 + tan ^{2 ( θ
) \u003d sec 2 ( θ
)}

1 + kinderbed ^{2 ( θ
) \u003d csc 2 ( θ
)}

De Pythagoras identiteiten zijn voorbeelden van trigonometrische identiteiten: gelijkheden (vergelijkingen) die trigonometrische functies gebruiken.
Waarom maakt het uit?

De identiteiten van Pythagoras kunnen zeer nuttig zijn voor het vereenvoudigen van ingewikkelde trig-instructies en vergelijkingen. Onthoud ze nu en u kunt uzelf veel tijd besparen!
Bewijs met behulp van de definities van de trig-functies

Deze identiteiten zijn vrij eenvoudig te bewijzen als u nadenkt over de definities van de trig functies. Laten we bijvoorbeeld bewijzen dat sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1.}

Denk eraan dat de definitie van sinus is tegenovergestelde zijde /hypotenusa, en die cosinus is aangrenzende zijde /hypotenusa.

Dus sin ^{2 \u003d tegenovergestelde 2 /hypotenuse 2}

En cos ^{2 \u003d aangrenzend 2 /hypotenuse 2}

Je kunt deze twee eenvoudig bij elkaar optellen omdat de noemers hetzelfde zijn.

sin ^{2 + cos 2 \u003d (tegenover 2 + aangrenzend 2) /hypotenuse 2}

Kijk nog eens Er staat dat a
<sup>2 + b
2 \u003d c
2. Houd er rekening mee dat a
en b
staan voor de tegenovergestelde en aangrenzende zijden, en c
staat voor de hypotenusa.</sup>

U kunt de vergelijking door beide zijden te delen door c
^2:

a
^{2 + b
2 \u003d c
2}

( a
^{2 + b
2) / c
2 \u003d 1}

Omdat a
^{2 en b
2 de tegenoverliggende en aangrenzende zijden zijn en c
2 is de hypotenusa, je hebt een equivalente verklaring als hierboven, met (tegenover 2 + aangrenzend 2) /hypotenuse 2. En dankzij het werk met a
, b
, c
en de Stelling van Pythagoras, kun je nu zien dat deze bewering gelijk is aan 1!}

(tegenover ^{2+ aangrenzend 2) /hypotenuse 2 \u003d 1,}

en daarom: sin ^{2 + cos 2 \u003d 1.}

(En het is beter om het correct uit te schrijven: sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1). De wederzijdse identiteiten}

Laten we ook een paar minuten kijken naar de wederzijdse identiteiten. Vergeet niet dat de wederkerige een is gedeeld door ("over") uw nummer - ook bekend als het omgekeerde.

Aangezien cosecant de wederkerige is van sinus, csc ( θ
) \u003d 1 /sin ( θ
).

Je kunt ook denken aan cosecant met de definitie van sinus. Bijvoorbeeld sinus \u003d andere kant /hypotenusa. Het omgekeerde daarvan is de omgekeerde fractie, die hypotenusa /andere kant is.

Op dezelfde manier is cosinus's wederkerig secant, dus het is gedefinieerd als sec ( θ
) \u003d 1 /cos ( θ
), of hypotenusa /aangrenzende zijde.

En de wederkerige van tangens is cotangent, dus cot ( θ
) \u003d 1 /tan ( θ
), of kinderbed \u003d aangrenzende zijde /tegenoverliggende zijde.

De bewijzen voor de identiteiten van Pythagoras met secant en cosecant lijken sterk op die voor sinus en cosinus. Je kunt de vergelijkingen ook afleiden met behulp van de vergelijking "ouder", sin ^{2 ( θ
) + cos 2 ( θ
) \u003d 1. Deel beide zijden door cos 2 ( θ
) om de identiteit 1 + tan 2 ( θ
) \u003d sec 2 ( θ
) te krijgen. Deel beide zijden door sin 2 ( θ
) om de identiteit 1 + cot 2 ( θ
) \u003d csc 2 ( θ ).}

Veel succes en onthoud de drie identiteiten van Pythagoras!