Stel dat u boodschappen moet doen en dat u een beperkt budget heeft. U wilt pasta en brood kopen voor een grote groep, maar u kunt niet meer dan twintig dollar uitgeven. In theorie zou je alleen brood en geen pasta kunnen kopen, of veel brood en slechts één doos pasta. Hoeveel verschillende pastadozen en broden kunt u kopen? En hoe kun je het beste van elk voor je geld krijgen?

Problemen zoals deze worden lineaire ongelijkheden genoemd: vergelijkingen waarvan de grafiek een lijn is, maar in plaats van het gelijkteken gebruiken ze ongelijkheidssymbolen zoals> of < .

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Om een lineaire ongelijkheid op te lossen, moet u alle combinaties van x
en vinden y
die de ongelijkheid waar maken. U kunt lineaire ongelijkheden oplossen met behulp van algebra of door grafieken.

Om een lineaire ongelijkheid (of een vergelijking) op te lossen, moet u alle combinaties vinden van x
en y
die die vergelijking waar maken.

U kunt algebraïsche lineaire ongelijkheden oplossen of u kunt de oplossingen in een grafiek weergeven (of beide!). Laten we samen enkele voorbeeldproblemen doorlopen.
Lineaire ongelijkheden oplossen Algebraïsch

Dit proces is bijna hetzelfde als het oplossen van een lineaire vergelijking, maar met een belangrijke uitzondering. Bekijk het probleem hieronder.

−4_x_ - 6> 12 - x

Krijg eerst alle x
-es op de dezelfde kant van het "groter dan" -teken. Voeg x
toe aan beide kanten om de x
aan de rechterkant te annuleren en alleen x
aan de linkerkant te hebben.

- 4_x_ (+ x
) - 6> 12 - x
(+ x
)

−3_x_ - 6> 12.

Voeg nu zes toe aan beide zijden:

−3_x_ - 6 (+ 6)> 12 (+ 6)

−3_x_> 18.

Tot nu toe is dit precies zoals elke lineaire vergelijking. Maar nu gaat het veranderen! Wanneer je beide kanten van een ongelijkheid door een negatief getal deelt, moet je de richting van het ongelijkheidssymbool veranderen.

Dus voor −3_x_> 18 gaan we beide kanten delen door −3, en dan gaan we het> -teken omdraaien naar een <-teken.

x
<−6
Grafiek Lineaire ongelijkheden

Hoe zit het met grafieken? Nogmaals, het proces is echt vergelijkbaar met lineaire vergelijkingen, maar er is een belangrijk verschil. Omdat je alle
van de combinaties van x
en y
moet aangeven die een ongelijkheid waar maken, ga je de lijn zoals gewoonlijk in een grafiek zetten en dan gaan schaduwen in het gedeelte van de grafiek dat je de rest van de mogelijke oplossingen geeft.

Hoe zou je bijvoorbeeld de ongelijkheid in kaart brengen y
<3_x_ + 6?

Allereerst merk je dat de ongelijkheid de vorm van een helling onderschept, wat betekent dat we het y
-intercept en de helling kunnen gebruiken om de lijn snel in kaart te brengen.

De y
-intercept is 6, dus teken een punt bij (0, 6), gebruik dan het feit dat de helling 3 is om drie eenheden omhoog te gaan en één eenheid naar rechts, teken vervolgens een punt. Je punt moet zijn op (1, 9). Om een lijn netjes en mooi te maken, is het leuk om drie punten te krijgen, dus teken nog een punt door te beginnen bij (1, 9) en drie omhoog te gaan, opnieuw over één. Je krijgt een punt op (2, 12). Trek nu een lijn door de punten met elkaar te verbinden.

Geweldig! Je hebt zojuist de gelijkheid y
\u003d 3_x_ + 6 in kaart gebracht, maar onthoud dat de oorspronkelijke vergelijking y
<3_x_ + 6 is. Gebruik deze eenvoudige truc om het juiste deel van de grafiek te schaduwen: wanneer de ongelijkheid is in helling-onderscheppingsvorm, als je y
y
> hebt, schaduw dan in alles boven de lijn.

Maar controleer dit zeker! Wanneer u in een heel deel van de grafiek schaduwt, betekent dit dat elk van die punten de vergelijking waar moet maken. Grijp een willekeurig punt dat u hebt overschaduwd en sluit x
en y
aan op de oorspronkelijke ongelijkheid. Als het werkt, ben je klaar om te gaan. Als dit niet het geval is, moet u uw grafische weergave en /of uw algebra nogmaals controleren.

Een laatste ding: als u> of Los systemen van lineaire ongelijkheden op

Het oplossen van een systeem van lineaire ongelijkheden lijkt sterk op het oplossen van vergelijkingssystemen. Grafiek is de gemakkelijkste manier om lineaire ongelijkheden op te lossen.

Om een systeem van lineaire ongelijkheden in kaart te brengen, grafiek je je eerste ongelijkheid zoals hierboven en schaduw in de gebieden boven of onder je lijn. Teken vervolgens de tweede ongelijkheid. Nogmaals, je gaat schaduwen in alle delen van de grafiek die de ongelijkheid waar maken. Meestal zal er één gebied in de grafiek zijn waar je twee keer overheen bent geschaduwd! Dit is de oplossing voor het systeem van ongelijkheden, omdat het het gedeelte van de grafiek is waar beide ongelijkheden waar zijn.