In de wiskunde wordt een tegenvoorbeeld gebruikt om een ​​bewering te weerleggen. Als je wilt bewijzen dat een verklaring waar is, moet je een bewijs schrijven om aan te tonen dat het altijd waar is; een voorbeeld geven is niet voldoende. Vergeleken met het schrijven van een bewijs is het schrijven van een tegenvoorbeeld veel eenvoudiger; als u wilt aantonen dat een bewering niet waar is, hoeft u slechts één voorbeeld van een scenario op te geven waarin de bewering onwaar is. De meeste tegenvoorbeelden in algebra hebben betrekking op numerieke manipulaties.
Twee klassen wiskunde

Proefschrift en het vinden van tegenvoorbeelden zijn twee van de primaire klassen van de wiskunde. De meeste wiskundigen richten zich op proefschriften om nieuwe stellingen en eigenschappen te ontwikkelen. Wanneer uitspraken of vermoedens niet waar kunnen worden verklaard, weerleggen wiskundigen ze door tegenvoorbeelden te geven.
Tegenvoorbeelden zijn concrete

In plaats van variabelen en abstracte notaties te gebruiken, kunt u numerieke voorbeelden gebruiken om een ​​argument te weerleggen. In de algebra hebben de meeste tegenvoorbeelden betrekking op manipulatie met verschillende positieve en negatieve of even en oneven getallen, extreme gevallen en speciale getallen zoals 0 en 1.
Sciencing Video Vault
Maak de (bijna) perfecte haak: Hier is hoe te Maak de (bijna) perfecte haak: Hier is hoe een tegenvoorbeeld voldoende is

De filosofie van de tegenvoorbeeld is dat als in één scenario de bewering niet waar is, de bewering onjuist is. Een niet-wiskundig voorbeeld is "Tom heeft nooit een leugen verteld." Om deze bewering te laten kloppen, moet je "bewijs" leveren dat Tom nooit een leugen heeft verteld door elke uitspraak te volgen die Tom ooit heeft gedaan. Om deze bewering te weerleggen, hoef je echter maar één leugen te laten zien die Tom ooit heeft gesproken.
Beroemde tegenvoorbeelden

"Alle priemgetallen zijn vreemd." Hoewel bijna alle priemgetallen, inclusief alle priemgetallen boven 3, oneven zijn, is "2" een priemgetal dat even is; deze verklaring is onjuist; "2" is de relevante tegenvoorbeeld.

"Aftrekken is commutatief." Zowel optellen als vermenigvuldigen zijn commutatief - ze kunnen in elke volgorde worden uitgevoerd. Dat wil zeggen, voor alle reële getallen a en b, a + b = b + a en a * b = b * a. Aftrekken is echter niet commutatief; een tegenvoorbeeld dat bewijst dat: 3 - 5 niet gelijk is aan 5 - 3.

"Elke doorlopende functie is differentieerbaar." De absolute functie | x |  is continu voor alle positieve en negatieve getallen; maar het is niet differentieerbaar op x = 0; sinds | x |  is een continue functie, deze tegenexample bewijst dat niet elke continue functie differentieerbaar is.