Een wiskundige van de RUDN University heeft een nieuw criterium voorgesteld voor het oplossen van de Boussinesq-vergelijkingen. Deze vergelijkingen beschrijven de niet-lineaire voortplanting van golven in bepaalde media, bijv. plasma, een vloeistofoppervlak van geringe diepte, enzovoort. Ze onderzochten de Boussinesq-vergelijking in een driedimensionale ruimte en leidden een criterium af voor uniciteit en het bestaan ​​van belangrijke oplossingen van een speciaal type voor de Boussinesq partiële differentiaalvergelijking. Het voorgestelde criterium heeft toepassingen in de mechanica van continue media, die de beweging van vloeistoffen en gassen bestudeert. Het artikel is gepubliceerd in Bulletin van de Braziliaanse Mathematical Society, Nieuwe series .

Zowel de Boussinesq-vergelijkingen als de Navier-Stokes-vergelijkingen zijn stelsels van partiële differentiaalvergelijkingen (differentiatie wordt uitgevoerd met betrekking tot alle onafhankelijke variabelen). Partiële differentiaalvergelijkingen spelen een belangrijke rol in de wiskundige natuurkunde en mechanica. Het oplossen van dit soort vergelijkingen is vaak erg moeilijk. Het probleem van het bestaan ​​en de uniciteit van een oplossing voor de Boussinesq-vergelijkingen onder gegeven beginvoorwaarden (het zogenaamde Cauchy-probleem) was eerder door veel wetenschappers onderzocht, inclusief de auteurs van het artikel. Met bepaalde waarden van de parameters, de Boussinesq-vergelijkingen veranderen in Navier-Stokes-vergelijkingen. Het bestaan ​​en de continue differentiatie, of, zoals wiskundigen zeggen, gladheid, van oplossingen voor de Navier-Stokes-vergelijkingen is een van de zeven millenniumprijsproblemen, gesteld in 2000 door het Clay Mathematics Institute.

Voor sommige functionele ruimtes (namelijk voor homogene Besov-ruimten, pf waarbij de beroemde Sobolev-ruimten een speciaal geval zijn), het probleem is met succes opgelost door de wiskundigen Don en Zhang. RUDN University wiskundige Maria Alessandra Ragusa en haar collega gingen verder, bewijst een soortgelijk criterium voor de Boussinesq-vergelijkingen in homogene Besov-ruimten. De auteurs onderzochten de Boussinesq-vergelijkingen in de driedimensionale ruimte, wat het mogelijk maakt om de resultaten vollediger toe te passen in de natuurwetenschappen.

Na een aantal noodzakelijke definities en aanvullende lemma's te hebben ingevoerd, de auteur van de RUDN University bewees met succes de hoofdstelling en toonde aan dat de oplossing voor het Cauchy-probleem niet alleen bestaat, is uniek, en heeft geen singuliere punten, maar breidt zich ook soepel uit tot een groter interval van een onafhankelijke variabele. Het artikel gebruikt het apparaat van functionele analyse, een wiskundige discipline met een hoog abstractieniveau. Hoe dan ook, dergelijke resultaten kunnen een brede en vruchtbare toepassing vinden in de mechanica en de natuurkunde.