Een wiskundige van de RUDN University heeft een nieuw criterium gevonden voor de regelmatigheid van gegeneraliseerde oplossingen van de vergelijkingen van magnetische hydrodynamica voor een onsamendrukbare vloeistof in de driedimensionale ruimte. Het gebruik van dit criterium vereenvoudigt het zoeken naar oplossingen voor dergelijke vergelijkingen en kan metallurgen helpen om het gedrag van gesmolten metaal te modelleren, evenals astrofysici om stellair plasma te beschrijven. Het artikel is gepubliceerd in de Tijdschrift voor wiskundige analyse en toepassingen .

Het systeem van vergelijkingen van de magnetohydrodynamica beschrijft het gedrag van elke elektrisch geleidende vloeistof (gesmolten metaal, elektrolyten) of plasma in aanwezigheid van een magnetisch veld, en bestaat uit twee differentiaalvergelijkingen die het magnetische veld relateren aan het snelheidsveld. De oplossingen voor deze systemen kunnen worden onderverdeeld in twee typen:klassiek en gegeneraliseerd (oplossingen waaraan de differentieerbaarheidsvoorwaarde niet wordt opgelegd). In tegenstelling tot klassieke oplossingen, gegeneraliseerde moeten worden gecontroleerd op regelmaat (gladheid). Wiskundigen voeren een dergelijke controle uit aan de hand van de criteria van regelmaat.

Maria Alessandra Ragusa van de RUDN University en haar collega's ontdekten dat vergelijkingen van het systeem kunnen worden teruggebracht tot een paar vergelijkingen van vergelijkbare vorm. Als je de onbekenden verwisselt, de eerste vergelijking wordt de tweede, en vice versa. Dit resultaat kan worden bereikt met behulp van de transpositie van variabelen. Een combinatie van de gewenste velden wordt gekozen als nieuwe variabelen:hun som en verschil. Het systeem wordt symmetrisch met betrekking tot zijn nieuwe onbekenden. Dit betekent dat de variabelen kunnen worden verwisseld zonder de oplossing te wijzigen. Deze aanpak vereenvoudigt het vinden van het antwoord:in plaats van twee verschillende vergelijkingen, een paar identieke is opgelost.

Professor Ragusa ontwikkelde een regelmaatcriterium voor algemene oplossingen voor het nieuwe systeem. Het wordt uitgedrukt in partiële afgeleiden van combinaties (som en verschil) van het snelheidsveld en het magnetische veld. Het criterium bestaat uit twee gelijke voorwaarden:wil de oplossing de eigenschap regelmaat hebben, het is voldoende dat ten minste één ervan wordt vervuld. Nadat de oplossingen voor het nieuwe systeem zijn gevonden en gecontroleerd op regelmaat, de overgang van de nieuwe coördinaten naar de gewenste velden wordt eenvoudig.

Het criterium stelt dat de oplossingen glad zijn als het scalaire product van de partiële afgeleiden van deze oplossingen behoort tot de Lebesgue-ruimte met de gegeven voorwaarde.

Bij het bewijzen van de geldigheid van het criterium, Professor Ragusa en haar collega's vertrouwden op de Ni, Guo, en Zhou-criterium. Door integrale schattingen te gebruiken, ze slaagde erin aan te tonen dat uit de voorwaarde voor het voldoen aan haar criterium, de vervulling van de Ni, Guo, en Zhou-criterium, dat is al bewezen, strikt volgt, wat betekent dat de oplossing regelmatig is.

Het door Ragusa en haar collega's gevonden criterium is belangrijk omdat alleen reguliere (gladde) oplossingen geschikt zijn om fysieke processen te beschrijven. Alleen zij beschrijven het gedrag van de onderzochte vloeistof of plasma correct.

Het gebruik van dit criterium zal het werk van metallurgen vergemakkelijken die het gedrag van gesmolten metaal moeten simuleren:veel bewerkingen bij het smelten van metalen worden uitgevoerd door het vloeibare metaal bloot te stellen aan een wisselend magnetisch veld. Voor een nauwkeurige beschrijving van dergelijke processen, het is noodzakelijk om te zoeken naar soepele oplossingen voor de stelsels van vergelijkingen van magnetische hydrodynamica. Stellair plasma, die kan worden beschouwd als een continu medium, wordt ook bepaald door de vergelijkingen van magnetische hydrodynamica. Nieuwe oplossingen voor de systemen van deze vergelijkingen zullen astrofysici in staat stellen meer te weten te komen over plasmagedrag in sterren.