Wiskundigen van de RUDN University en het Nuclear Safety Institute of the RAS (NSI RAS) hebben een numerieke methode voorgesteld voor het oplossen van vergelijkingen die de voortplanting van licht in een medium beschrijven. Ze gebruikten de niet-lineaire eikonale vergelijking met randvoorwaarden als basis. Een dergelijk probleem kan niet direct worden opgelost, dus ontwikkelden de wiskundigen een numerieke methode, berekeningen uitgevoerd, en produceerde een beeld van het "gedrag" van dergelijke oplossingen. De resultaten zouden de basis kunnen vormen voor een uitgebreide theorie van benaderende oplossingen van dergelijke differentiaalvergelijkingen. De methode kan worden toegepast bij de productie van lenzen en optische kristallen. Het artikel is gepubliceerd in de Journal of Computational and Applied Mathematics .

De eikonale vergelijking is een niet-lineaire partiële differentiaalvergelijking. Het beschrijft de voortplanting van licht in een medium en is nodig voor het oplossen van problemen in de optica. Het maakt het mogelijk om vlakke optica aan te sluiten, onderwezen op scholen, en golfoptica, die wordt beschreven door complexe vergelijkingen.

Het is traditioneel om een ​​methode te gebruiken die gebaseerd is op het oplossen van een groot stelsel van niet-lineaire vergelijkingen om een ​​numerieke oplossing te vinden (d.w.z. om een ​​voldoende nauwkeurige benaderingsoplossing te verkrijgen) voor de eikonale vergelijking.

RUDN University en NSI RAS wiskundigen gebruikten een andere benadering, wat het gemakkelijker maakt om een ​​oplossing te vinden voor de niet-lineaire eikonale vergelijking met behulp van een numerieke methode:een verandering van variabelen door toevoeging van een parameter. De verandering resulteert in nieuwe vergelijkingen, die, aan de ene kant, zijn eenvoudiger dan de eerste:het probleem wordt lineair. Anderzijds, hun oplossingen zijn niet de oplossingen van het oorspronkelijke systeem. Echter, naarmate de parameter kleiner wordt, komen de oplossingen voor het nieuwe systeem dichter bij de oplossingen voor het oorspronkelijke systeem.

Wiskundigen verlaagden geleidelijk (met een bepaalde vaste waarde) de waarde van de toegevoegde parameter en losten voor elke dergelijke waarde de vergelijking numeriek op. Voor elke volgende parameterwaarde werd de resulterende oplossing vergeleken met de vorige. Naarmate de parameter kleiner werd, veranderden de oplossingen steeds minder, dat is, het resultaat van de berekeningen stabiliseerde. Het bleek dat een voldoende stabiele oplossing een relatief kleine parameterwaarde vereist. De resulterende oplossing werd genomen als een benadering van de oorspronkelijke vergelijking.

De wiskundigen hebben aangetoond dat een dergelijke methode redelijk goede resultaten geeft op representatieve modelproblemen.

"De rekenkundige complexiteit - de zogenaamde 'rekenkosten' van de aanpak waar we het over hebben - is niet groter dan die van andere benaderingen. Hoewel, we lossen een lineair randwaardeprobleem op, en dat, natuurlijk, is minder arbeidsintensief dan het oplossen van een niet-lineair probleem, " legde Petr Vabisjevitsj uit, de auteur van de studie en een lid van het Research Center for Computational Methods in Applied Mathematics van de RUDN University.

Vabishevich en zijn co-auteurs hebben de vergelijking voor anisotrope media gemodelleerd. Vanuit het oogpunt van de natuurkunde, dit is een omgeving waarin de fysieke eigenschappen van lichtvoortplanting in verschillende richtingen niet hetzelfde zijn. Materialen met deze eigenschappen worden nu veel gebruikt in optische apparaten.

Naast optica, de eikonale vergelijking wordt ook gebruikt om vergelijkingen numeriek op te lossen die de beweging van een vloeistof beschrijven. Dergelijke modellering is nodig om realistische afbeeldingen in computergraphics te maken, bijvoorbeeld in de film "Pirates of the Caribbean" werd het water niet alleen getekend, maar op fysiek niveau berekend. De snelheid van rekenen, die mogelijk kan worden verbeterd door de methode die is ontwikkeld door wiskundigen van de RUDN University en NSI RAS, speelt in dergelijke gevallen een sleutelrol.