Met hoeveel mensen deel jij een verjaardag? Jarenlang kende ik niemand die mijn verjaardag deelde, maar naarmate mijn groep kennissen groeide, groeide ook de kans dat tenminste sommigen van hen dezelfde geboortedatum zouden delen. Nu ken ik minstens vijf andere mensen met dezelfde zomerverjaardag als de mijne. Wat zijn de kansen?

1. Hoe werkt de verjaardagsparadox?
2. De waarschijnlijkheden van de verjaardagsparadox zijn exponentieel
3. Het antwoord op de verjaardagsparadox

Hoe werkt de verjaardagsparadox?

Het antwoord ligt in de verjaardagsparadox :Hoe groot moet een willekeurige groep mensen zijn om een ​​kans van 50 procent te hebben dat minstens twee van de mensen dezelfde verjaardag hebben?

Neem bijvoorbeeld een klaslokaal met schoolkinderen. Laten we zeggen dat er 30 kinderen in de klas zitten met 365 mogelijke geboortedata in een kalenderjaar. De kans dat een van de studenten jarig zou zijn, lijkt vrij klein, toch? In een groep van slechts 30 kinderen, waarvan de aankomsten willekeurig verspreid waren over tien keer zoveel dagen in het jaar, zou immers waarschijnlijk niemand een geboortedatum delen, toch?

Hoe groot moet een groep willekeurige mensen zijn voordat twee van hen jarig zijn? De meeste mensen die snel hoofdrekenen, zullen geloven dat 182 het juiste antwoord is, wat ongeveer de helft is van het aantal dagen in een jaar. Maar zou je echt 182 mensen in een groep nodig hebben om twee van hen dezelfde geboortedatum te laten hebben?

Nee, zo eenvoudig is het niet:de verjaardagsparadox gaat over exponentiële getallen.

De waarschijnlijkheden van de verjaardagsparadox zijn exponentieel

"Het belangrijkste is dat mensen aanzienlijk onderschatten hoe snel de waarschijnlijkheid toeneemt met de groepsgrootte. Het aantal mogelijke paren neemt exponentieel toe met de groepsgrootte. En mensen zijn verschrikkelijk als het gaat om het begrijpen van exponentiële groei", zegt Jim Frost, een statisticus en columnist voor de Amerikaanse Society of Quality's Statistics Digest, vertelde WordsSideKick.com.

We zijn gewoon niet zo goed in het inschatten van waarschijnlijkheden, vooral als ze net zo contra-intuïtief zijn als de verjaardagsparadox.

"Ik hou van dit soort problemen omdat ze illustreren hoe mensen over het algemeen niet goed zijn met waarschijnlijkheden, waardoor ze verkeerde beslissingen nemen of slechte conclusies trekken," zei Frost.

Om het waarschijnlijke aantal mensen te begrijpen, zodat twee van hen een jarige tweeling kunnen zijn, moeten we de berekeningen maken en een proces van eliminatie starten.

Voor een groep van twee personen is de kans dat de ene persoon samen met de ander jarig is bijvoorbeeld 364 van de 365 dagen. Dit is een waarschijnlijkheid van ongeveer 0,27 procent. Voeg een derde persoon toe aan de groep en de kans op het delen van een verjaardag verschuift naar 363 van de 365 dagen, wat een waarschijnlijkheid is van ongeveer 0,82 procent.

Het antwoord op de verjaardagsparadox

Zoals je misschien al geraden hebt – en terecht – hoe groter de groep, hoe groter de kans dat twee mensen op dezelfde dag geboren worden. Dus wat is het juiste antwoord op de verjaardagsparadox? Als we blijven rekenen, zullen we ontdekken dat wanneer we een groep van 23 mensen bereiken, er ongeveer 50 procent kans is dat twee van hen dezelfde verjaardag zullen delen.

Waarom lijkt 23 zo’n contra-intuïtief antwoord? Het heeft allemaal te maken met exponenten. Onze hersenen berekenen over het algemeen niet de samengestelde kracht van exponenten als we de berekeningen in ons hoofd doen. We zijn geneigd te denken dat het berekenen van waarschijnlijkheden een lineaire oefening is, die niet verder van de waarheid kan zijn.

Als u in een kamer met 22 andere mensen uw verjaardag vergelijkt met de verjaardagen van de andere 22 mensen, levert dit slechts 22 vergelijkingen op.

Maar als je alle 23 verjaardagen met elkaar vergelijkt, levert dat veel meer dan 22 vergelijkingen op. Hoeveel nog? Welnu, de ene persoon moet 22 vergelijkingen maken, maar de tweede persoon is al vergeleken met de eerste persoon, dus er zijn er maar 21 die die persoon kan maken. De derde persoon heeft dan 20 vergelijkingen, de vierde persoon 19, enzovoort. Als je alle mogelijke vergelijkingen bij elkaar optelt, kom je op 253 vergelijkingen, oftewel vergelijkingscombinaties. Een bijeenkomst van 23 mensen omvat dus 253 vergelijkingscombinaties, oftewel 253 kansen dat twee verjaardagen overeenkomen.

Hier is nog een exponentieel groeiprobleem dat lijkt op de verjaardagsparadox. "Stel dat je in ruil voor een bepaalde dienst 1 cent krijgt op de eerste dag, 2 cent op de tweede dag, 4 cent op de derde, 8 cent, 16 cent, enzovoort, gedurende 30 dagen." zei Vorst. "Is dat een goede deal? De meeste mensen denken dat het een slechte deal is, maar dankzij de exponentiële groei heb je op de 30e dag in totaal $10,7 miljoen."

Wiskundige waarschijnlijkheidsvragen als deze "laten zien hoe nuttig wiskunde kan zijn bij het verbeteren van ons leven", zei Frost. "De contra-intuïtieve resultaten van deze problemen zijn dus leuk, maar ze dienen ook een doel."

De volgende keer dat u deel uitmaakt van een groep van 23 personen, kunt u er zeker van zijn dat u 50 procent kans heeft om een ​​verjaardag met iemand te delen.

Dat is interessant

Psychologisch gesproken zijn er twee ‘systemen’ die de hersenen gebruiken om problemen op te lossen en beslissingen te nemen:het eerste systeem is gebaseerd op intuïtie en stelt ons in staat snelle beslissingen te nemen, terwijl het tweede systeem doelbewust (en soms langdurig) denken vereist. op met een antwoord. De verjaardagsparadox is afhankelijk van het tweede systeem om de berekeningen uit te voeren en met een juist antwoord te komen.

Veel beantwoorde vragen

Is er een kans van 50 dat twee van hen dezelfde verjaardag hebben?

Ja, er is een kans van 50% dat twee van hen dezelfde verjaardag hebben.