Soms is het nodig om een niet-nul vector te vinden die, wanneer vermenigvuldigd met een vierkante matrix, ons een veelvoud van de vector teruggeeft. Deze vector zonder nul wordt een "eigenvector" genoemd. Eigenvectors zijn niet alleen interessant voor wiskundigen, maar ook voor anderen in beroepen zoals natuurkunde en techniek. Om ze te berekenen, moet u matrixalgebra en determinanten begrijpen.

Leer en begrijp de definitie van een "eigenvector". Het wordt gevonden voor een n x n vierkante matrix A en ook een scalaire eigenwaarde genaamd "lambda". Lambda wordt vertegenwoordigd door de Griekse letter, maar hier zullen we het afkorten tot L. Als er een niet-nul vector x is waarin Ax \u003d Lx, wordt deze vector x een "eigenwaarde van A." genoemd.

Vind de eigenwaarden van de matrix met behulp van de karakteristieke vergelijking det (A - LI) \u003d 0. "Det" staat voor de determinant en "I" is de identiteitsmatrix.


Bereken de eigenvector voor elke eigenwaarde door een te vinden eigenspace E (L), wat de nulruimte is van de karakteristieke vergelijking. De niet-nulvectoren van E (L) zijn de eigenvectoren van A. Deze worden gevonden door de eigenvectoren terug in de karakteristieke matrix te steken en een basis te vinden voor A - LI \u003d 0.


Oefenstappen 3 en 4 door de matrix links bestuderend. Getoond wordt een vierkante 2 x 2 matrix.


Bereken de eigenwaarden met behulp van de karakteristieke vergelijking. Det (A - LI) is (3 - L) (3 - L) --1 \u003d L ^ 2 - 6L + 8 \u003d 0, wat de karakteristieke polynoom is. Dit algebraïsch oplossen geeft ons L1 \u003d 4 en L2 \u003d 2, wat de eigenwaarden van onze matrix zijn.


Vind de eigenvector voor L \u003d 4 door de nullruimte te berekenen. Doe dit door L1 \u003d 4 in de karakteristieke matrix te plaatsen en de basis te vinden voor A - 4I \u003d 0. Als we dit oplossen, vinden we x - y \u003d 0 of x \u003d y. Dit heeft slechts één onafhankelijke oplossing omdat ze gelijk zijn, zoals x \u003d y \u003d 1. Daarom is v1 \u003d (1,1) een eigenvector die de eigenspace van L1 \u003d 4 overspant.


Herhaal stap 6 tot en met zoek de eigenvector voor L2 \u003d 2. We vinden x + y \u003d 0 of x \u003d --y. Dit heeft ook een onafhankelijke oplossing, zeg x \u003d --1 en y \u003d 1. Daarom is v2 \u003d (--1,1) een eigenvector die de eigenspace van L2 \u003d 2 overspant.