Met de Super Bowl net om de hoek hebben atleten en fans van de wereld hun focus stevig op het grote spel gevestigd. Maar voor _math_letes kan het grote spel een klein probleem doen ontstaan ​​met betrekking tot de mogelijke scores in een voetbalwedstrijd. Met slechts beperkte opties voor het aantal punten dat u kunt scoren, kunnen sommige totalen eenvoudig niet worden bereikt, maar wat is het hoogste? Als je wilt weten wat munten, voetbal en McDonald's kipnuggets met elkaar verbindt, is dit een probleem voor jou.
Het probleem met de Super Bowl-wiskunde

Het probleem heeft betrekking op de mogelijke scores, de Los Angeles-rammen of de nieuwe Engeland Patriots kunnen mogelijk op zondag zonder een veiligheids- of tweepuntsconversie behalen. Met andere woorden, de toegestane manieren om hun scores te verhogen zijn 3-punts velddoelen en 7-punts touchdowns. Dus, zonder safeties, kun je geen score van 2 punten behalen in een game met elke combinatie van 3s en 7s. Evenmin kunt u een score van 4 behalen en u kunt ook geen 5 scoren.

De vraag is: wat is de hoogste score die niet kan worden behaald met slechts 3 punten velddoelen en 7-punts touchdowns?
Sciencing Video Vault
Creëer de (bijna) perfecte bracket: Hier ziet u hoe maak je de (bijna) perfecte bracket: Hier is hoe

Natuurlijk, touchdowns zonder een conversie zijn 6 waard, maar omdat je toch met twee velddoelen kunt komen, maakt het niet uit voor het probleem. Omdat we hier te maken hebben met wiskunde, hoef je je geen zorgen te maken over de tactieken van het specifieke team of zelfs over eventuele limieten voor hun vermogen om punten te scoren.

Probeer dit zelf op te lossen voordat je verder gaat!
Een oplossing zoeken (de Slow Way)

Dit probleem heeft een aantal complexe wiskundige oplossingen (zie bronnen voor alle details, maar het belangrijkste resultaat zal hieronder worden geïntroduceerd), maar het is een goed voorbeeld van hoe dit is ' t nodig
om het antwoord te vinden.

Het enige dat u hoeft te doen om een ​​brute-force oplossing te vinden, is door eenvoudigweg elk van de scores een voor een uit te proberen. Dus we weten dat je geen 1 of 2 kunt scoren, omdat ze minder dan 3 zijn. We hebben al vastgesteld dat 4 en 5 niet mogelijk zijn, maar 6 is, met twee velddoelen. Na 7 (wat mogelijk is), kun je 8 scoren? Nee. Drie velddoelen geven 9, en een velddoel en een geconverteerde touchdown maakt 10. Maar je krijgt geen 11.

Vanaf dit punt laat een beetje werk zien dat:
\\ begin {aligned} 3 × 4 & = 12 \\\\ 7 + (3 × 2) & = 13 \\\\ 7 × 2 & = 14 \\\\ 3 × 5 & = 15 \\\\ 7 + (3 × 3) & = 16 \\\\ (7 × 2) + 3 & = 17 \\ end {aligned}

En eigenlijk kun je zo lang doorgaan als je wilt. Het antwoord lijkt te zijn 11. Maar is het?
De algebraïsche oplossing

Wiskundigen noemen deze problemen "Frobenius munten problemen." De oorspronkelijke vorm had betrekking op munten, zoals: Als u alleen munten had die werden gewaardeerd 4 cent en 11 cent (geen echte munten, maar nogmaals, dat is wiskunde voor jou), wat is het grootste bedrag dat je niet zou kunnen verdienen.

De oplossing, in termen van algebra, is die met één scoorwaarde p
punten en één score q
punten, de hoogste score die je niet kunt krijgen ( N
) wordt gegeven door:
N = pq \\; - \\; (p + q)

Dus het inpluggen van de waarden van het probleem met de Super Bowl geeft:
\\ begin {aligned} N & = 3 × 7 \\; - \\; (3 + 7) \\\\ & = 21 \\; - \\; 10 \\\\ & = 11 \\ end {aligned}

Wat het antwoord is, kregen we op de trage manier. Dus wat als je alleen touchdowns kon scoren zonder conversie (6 punten) en touchdowns met eenpuntsconversies (7 punten)? Kijk of je de formule kunt gebruiken om het uit te werken voordat je verder leest.

In dit geval wordt de formule:
\\ begin {aligned} N & = 6 × 7 \\; - \\; (6 + 7) \\\\ & = 42 \\; - \\; 13 \\\\ & = 29 \\ end {aligned} The Chicken McNugget Probleem

Dus het spel is afgelopen en je wilt het winnende team belonen met een reis naar McDonald's. Maar ze verkopen alleen McNuggets in vakjes van 9 of 20. Dus wat is het hoogste aantal nuggets dat je niet kunt kopen met deze (verouderde) boxnummers? Probeer de formule te gebruiken om het antwoord te vinden voordat je verder leest.

Since
N = pq \\; - \\; (p + q)

En met p
= 9 en q
= 20:
\\ begin {aligned} N & = 9 × 20 \\; - \\; (9 + 20) \\\\ & = 180 \\; - \\; 29 \\\\ & = 151 \\ end {aligned}

Dus op voorwaarde dat je meer dan 151 nuggets kocht - het winnende team zal waarschijnlijk behoorlijk hongerig zijn, je zou immers elk gewenst aantal nuggets kunnen kopen met een bepaalde dooscombinatie.

U vraagt ​​zich misschien af ​​waarom we alleen tweevoudige versies van dit probleem hebben behandeld. Wat als we safeties hebben ingebouwd, of als McDonalds drie formaten nugget-dozen verkocht? Er is in dit geval geen duidelijke formule
en hoewel de meeste versies ervan kunnen worden opgelost, zijn sommige aspecten van de vraag volledig onopgelost.

Misschien als u het spel bekijkt of het eten van hapklare stukjes kip, je kunt beweren dat je een open probleem probeert op te lossen in de wiskunde - het is de moeite waard om uit de klusjes te komen!