Ziekte heeft mensen getroffen sinds er mensen zijn. Malaria en tuberculose zouden het oude Egypte meer dan 5 jaar hebben geteisterd, 000 jaar geleden. Van 541 tot 542 na Christus heeft de wereldwijde pandemie die bekend staat als "de plaag van Justinianus" naar schatting 15-25% van de 200 miljoen wereldbevolking gedood. Na de Spaanse verovering van Mexico, de inheemse bevolking daalde van ongeveer 30 miljoen in 1519 tot slechts drie miljoen 50 jaar later. Vandaag strijden we om de verspreiding van COVID-19 onder controle te krijgen, die het potentieel heeft om de meest dodelijke pandemie in de menselijke geschiedenis te veroorzaken.

Er is, echter, een weinig bekend maar zeer succesvol wetenschapsgebied dat op de achtergrond werkt om de mysteries van infectieziekten te ontrafelen. Terwijl ik onderzoek in The Maths of Life and Death, wiskundige epidemiologie speelt een cruciale rol in de strijd tegen grootschalige infectieziekten zoals COVID-19.

Met elementaire wiskundige modellen, onderzoekers kunnen de progressie van ziekten beginnen te voorspellen en het effect van interventies op de verspreiding van ziekten begrijpen. Met meer complexe modellen, we kunnen beginnen met het beantwoorden van vragen over hoe we de beperkte middelen efficiënt kunnen toewijzen of de gevolgen van interventies op het gebied van de volksgezondheid kunnen ontmaskeren, zoals het sluiten van pubs en het verbieden van bijeenkomsten.

Inzichten uit wiskundige modellering zijn essentieel om ervoor te zorgen dat autoriteiten zoveel mogelijk sterfgevallen kunnen voorkomen. Naarmate de COVID-19-pandemie escaleert, hier is een kijkje in de modellering die experts gebruiken om te proberen het virus een stap voor te blijven.

Het S-I-R-model

Een van de eenvoudigste wiskundige modellen van ziekteverspreiding verdeelt de bevolking in drie basiscategorieën op basis van de ziektestatus. Mensen die de ziekte nog niet hebben gehad, worden als "vatbaar" bestempeld. Iedereen wordt verondersteld vatbaar te worden geboren en geïnfecteerd te raken. Degenen die de ziekte hebben opgelopen en in staat zijn deze door te geven aan vatbare personen, zijn de "infectieuze personen". De derde groep wordt eufemistisch de "verwijderde" klasse genoemd. Dit zijn de mensen die de ziekte hebben gehad en zijn hersteld en nu immuun zijn, of degenen die zijn overleden. Deze "verwijderde" individuen dragen niet langer bij aan de verspreiding van de ziekte.

Dit wordt het S-I-R-model genoemd. Van knokkelkoorts in Latijns-Amerika tot varkenspest in Nederland en norovirus in België, het S-I-R-model kan essentiële lessen bieden om verspreiding van ziekten te voorkomen.

Dit model illustreert het belang van sociaal isolement voor geïnfecteerden. Door thuis te blijven tot volledig hersteld, je brengt jezelf effectief van de geïnfecteerde klas rechtstreeks naar de verwijderde klas zonder het virus op te lopen. Deze eenvoudige actie kan de omvang van een uitbraak verkleinen door de kansen voor de ziekte om over te gaan op gevoelige personen te verkleinen.

Of een uitbraak zich verspreidt of uitsterft, wordt grotendeels bepaald door een enkel nummer dat uniek is voor die uitbraak:het basisreproductienummer.

Denk aan een populatie die volledig vatbaar is voor een bepaalde ziekte, net zoals de wereldbevolking in december 2019, aan het begin van de uitbraak van COVID-19. Het gemiddelde aantal voorheen niet-blootgestelde personen dat is geïnfecteerd door een enkele, pas geïntroduceerde ziektedrager staat bekend als het basisreproductienummer, en vaak aangeduid als R₀ (uitgesproken als "R-nought" of "R-zero").

Als een ziekte een R₀ kleiner dan één heeft, dan sterft de infectie snel uit naarmate elke besmettelijke persoon de ziekte overdraagt, gemiddeld, aan minder dan één ander individu. De uitbraak kan zijn eigen verspreiding niet in stand houden. Als R₀ groter is dan één, zal de uitbraak exponentieel groeien.

Exponentiële explosie

Vroege schattingen van het basisreproductiegetal voor COVID-19 plaatsen het ergens tussen 1,5 en 4, met een waarde van minimaal 2 in december en januari. Met een basis reproductiegetal van 2, de eerste persoon met de ziekte verspreidt het naar twee anderen, wie elk, gemiddeld, verspreidde de ziekte naar twee anderen en vervolgens naar twee anderen elk, enzovoort.

Deze exponentiële groei is kenmerkend voor de beginfase van de infectie. Als de verspreiding zo zou doorgaan, tien generaties verder in de keten van vooruitgang, meer dan 1, 000 mensen zouden besmet zijn. Tien stappen verder, de tol zou oplopen tot meer dan een miljoen.

In praktijk, de exponentiële groei die wordt voorspeld door het basisreproductiegetal wordt zelden langer dan enkele generaties volgehouden. Uitbraken bereiken uiteindelijk een piek en nemen vervolgens af als gevolg van de afnemende frequentie van contacten tussen infectieuze en vatbare personen.

Ook als er geen besmettingen meer zijn en de uitbraak officieel voorbij is, sommige vatbare personen zullen blijven. Het S-I-R-model kan een schatting geven van de uiteindelijke omvang van de epidemie:het aantal mensen dat aan het einde van een uitbraak is geïnfecteerd als er geen corrigerende maatregelen zijn genomen. Aan de onderkant van de schattingen voor COVID-19, een reproductiegetal van 1,5, betekent dat 58% van de bevolking besmet zou raken. Aan de bovenkant van de schattingen, met een R₀ van 4, het S-I-R-model voorspelt dat slechts 2% van de mensen niet besmet zou blijven als er geen actie wordt ondernomen.

Een cruciaal nummer

Het basisreproductienummer is nuttig om bijna elke uitbraak te begrijpen, omdat het alle subtiliteiten van de overdracht van ziekten in één cijfer samenvat. Van de manier waarop de infectie zich in het lichaam ontwikkelt, naar de wijze van overdracht - en zelfs de structuur van de samenlevingen waarbinnen het zich verspreidt - omvat het alle belangrijke kenmerken van de uitbraak en stelt het ons in staat om dienovereenkomstig te reageren.

R₀ kan doorgaans worden onderverdeeld in drie componenten:de grootte van de populatie, de snelheid waarmee gevoelige personen geïnfecteerd raken (vaak bekend als de infectiekracht), en de snelheid van herstel of overlijden van de ziekte. Het verhogen van de eerste twee van deze factoren verhoogt R₀, terwijl het verhogen van het herstelpercentage het vermindert. Hoe groter de populatie en hoe sneller de ziekte zich tussen individuen verspreidt, hoe groter de uitbraak waarschijnlijk zal zijn. Hoe sneller mensen herstellen, hoe minder tijd ze hebben om de ziekte aan anderen door te geven en, bijgevolg, hoe gemakkelijker het zal zijn om een ​​uitbraak onder controle te krijgen.

Dan is er de effectief reproductie nummer. Dit is het gemiddelde aantal secundaire infecties veroorzaakt door een besmettelijke persoon op een bepaald punt in de voortgang van de uitbraak. Indien, door tussenkomst, het effectieve reproductiegetal kan onder de één worden gebracht, dan sterft de ziekte uit.

Gevalssterftecijfer

Hoewel cruciaal voor ziektebestrijding, R₀ vertelt ons niet hoe ernstig een ziekte is voor een geïnfecteerd persoon. Het percentage geïnfecteerde mensen dat uiteindelijk aan een ziekte sterft, staat bekend als het sterftecijfer.

Een uiterst besmettelijke ziekte zoals mazelen, met een R₀ tussen 12 en 18, heeft een relatief laag sterftecijfer vergeleken met de 50-70% van de ebolapatiënten die uiteindelijk aan de ziekte zullen overlijden. Als resultaat, mazelen wordt doorgaans als minder ernstig beschouwd dan ebola, ook al heeft ebola een veel kleinere R₀ van ongeveer 1,5. Vroege schattingen geven aan dat het sterftecijfer van COVID-19 tussen 0,25% en 3,5% ligt.

Het is belangrijk om te onthouden dat het sterftecijfer niet vaststaat - het hangt af van de reacties van de samenleving en individuen op de ziekte, evenals op de demografie van de bevolking die het infecteert. Bijvoorbeeld, sterftecijfers voor COVID-19 lijken aanzienlijk te variëren met de leeftijd van de patiënt, waarbij de ouderen het zwaarst worden getroffen.

Misschien verrassend, ziekten met een hoog sterftecijfer zijn doorgaans minder besmettelijk. Als een ziekte te veel van zijn slachtoffers te snel doodt, verkleint het de kans om te worden overgedragen. Ziekten die de meeste mensen doden die ze infecteren en die zich ook efficiënt verspreiden, zijn zeer zeldzaam, en zijn meestal beperkt tot rampenfilms.

Hoewel een hoog sterftecijfer tijdens een uitbraak aanzienlijk de angst oproept, Ziekten met een hoge R₀ maar sterfte in kleine letters (denk aan COVID-19 in vergelijking met Ebola) kunnen uiteindelijk meer mensen doden vanwege de grotere aantallen die ze infecteren.

Een uitbraak onder controle houden

Een van de meest effectieve opties om de verspreiding van ziekten te verminderen, is vaccinatie. Door mensen direct van vatbaar naar verwijderd, het omzeilen van de infectieuze toestand, het vermindert effectief de omvang van de vatbare populatie.

Maar vaccinatie is meestal een voorzorgsmaatregel die wordt gebruikt om de kans op uitbraken te verkleinen. Zodra uitbraken zoals de huidige COVID-19-pandemie in volle gang zijn, het is vaak onpraktisch om een ​​vaccin binnen een bruikbaar tijdsbestek te ontwikkelen en te testen.

Quarantaine en isolatie kunnen de transmissiesnelheid efficiënt verlagen en bijgevolg, het effectieve reproductiegetal. Isolatie van infectieuze patiënten vermindert de verspreidingssnelheid, terwijl het in quarantaine plaatsen van gezonde individuen de effectieve vatbare populatie vermindert.

Beide acties dragen bij aan het verminderen van het effectieve reproductiegetal, daarom zijn sociale afstand en zelfisolatie zulke belangrijke strategieën om COVID-19 aan te pakken.

Kudde-immuniteit

Een idee waarmee de Britse regering in de eerste dagen van hun reactie leek te spelen, was dat van kudde-immuniteit - het concept dat een grote populatie immuun-individuen de verspreiding van de ziekte kan vertragen of zelfs stoppen. Verrassend genoeg, dit gemeenschapseffect vereist niet dat iedereen immuun is voor de ziekte om de hele bevolking te beschermen. Door het effectieve reproductiegetal terug te brengen tot minder dan één - ervoor zorgen dat geïnfecteerde mensen met zo min mogelijk gevoelige mensen in contact komen - kan de transmissieketen worden doorbroken en kan de ziekte een halt worden toegeroepen. Cruciaal, kudde-immuniteit betekent dat mensen die immuungecompromitteerd zijn, de ouderen, zwangere vrouwen en andere demografische groepen met een hoog risico kunnen profiteren van de bescherming die wordt geboden door de immuniteit van anderen.

Het deel van de bevolking dat immuun moet zijn om de rest te beschermen, varieert afhankelijk van hoe besmettelijk de ziekte is. Het basisreproductienummer, R₀, bepaalt hoe groot dat aandeel is. Hoe hoger het basisreproductiegetal, hoe hoger het immuunaandeel van de bevolking moet zijn. Bijvoorbeeld, voor een ziekte met een basisreproductiegetal van 4, het S-I-R-model voorspelt dat driekwart van de bevolking immuun moet zijn. Als R₀ zo laag is als 1,5, hoeft mogelijk slechts een derde van de bevolking immuniteit te verwerven om de resterende twee derde te beschermen.

Als er een vaccin beschikbaar is, dan kan kudde-immuniteit worden bereikt door een voldoende groot deel van de bevolking te vaccineren (dat gezegd hebbende, we zijn er maar ooit in geslaagd om één menselijke ziekte – de pokken – volledig uit te roeien door middel van vaccinatie).

Als er geen vaccin beschikbaar is, de enige manier waarop mensen immuniteit kunnen verwerven, is door besmet te raken met de ziekte en te herstellen. Gezien het sterftecijfer van COVID-19, dit zou de dood van vele duizenden mensen tot gevolg hebben. Niet verrassend, de Britse regering kwam terug op hun voorgestelde beleid.

De volgende generatie modellering

In werkelijkheid, het eenvoudige S-I-R-model is niet complex genoeg om de subtiliteiten van veel uitbraken van infectieziekten vast te leggen. Maar voor ziekten die hun slachtoffers geen immuniteit verlenen, een eenvoudige aanpassing van het S-I-R-model kan helpen.

Zoals typisch is voor sommige seksueel overdraagbare aandoeningen, gonorroe heeft helemaal geen verwijderde populatie. Eenmaal hersteld van gonorroe, patiënten kunnen opnieuw besmet raken. Aangezien niemand sterft aan de symptomen van gonorroe, niemand wordt ooit "verwijderd" uit de bevolking. Dergelijke modellen worden meestal aangeduid met S-I-S, het nabootsen van het progressiepatroon van een individu van vatbaar naar infectieus en terug naar vatbaar weer. Aangezien de populatie van vatbare mensen nooit uitgeput raakt, maar vernieuwd als mensen herstellen, het S-I-S-model voorspelt dat ziekten zichzelf in stand kunnen houden of "endemisch" kunnen worden.

Of een enkele infectie met SARS-CoV-2 (het virus dat COVID-19 veroorzaakt) voldoende was om immuniteit te bieden, was een van de grootste zorgen voor wetenschappers aan het begin van de uitbraak. Zou het nieuwe virus voor onbepaalde tijd onder de bevolking kunnen circuleren? Hoewel er verschillende meldingen zijn van mensen die het virus voor de tweede keer hebben opgelopen, er zijn ook goede aanwijzingen dat herstelde COVID-19-patiënten immuun worden.

Een ander probleem met het nieuwe coronavirus is dat er meestal een asymptomatische periode is aan het begin van de ziekte. Gedurende deze periode, mensen kunnen het virus herbergen en anderen besmetten zonder zelf symptomen te vertonen. Dat betekent dat we een andere klasse mensen aan het model moeten toevoegen. Dit zijn mensen die, eenmaal besmet, zijn in staat de ziekte door te geven zonder symptomen te vertonen - de zogenaamde "drager"-klasse. Dit verandert het S-I-R-model in een S-C-I-R-model. De dragerklasse is van vitaal belang voor het vertegenwoordigen van ziekten zoals hiv/aids, die lange besmettelijke perioden hebben zonder duidelijke symptomen.

Nog ingewikkelder zijn de state-of-the-art modellen die momenteel worden gebruikt om het overheidsbeleid te informeren. Helaas, zelfs de meest gedetailleerde en realistische wiskundige modellen kunnen niet voorspellen wanneer de huidige pandemie zal worden veroorzaakt.

Maar het is zeker dat, als we uiteindelijk de controle over de situatie krijgen, wiskundigen en hun modellen zullen een belangrijke rol hebben gespeeld in de manier waarop het drama zich ontwikkelde.

Dit artikel is opnieuw gepubliceerd vanuit The Conversation onder een Creative Commons-licentie. Lees het originele artikel.