Een foto is 1 waard 000 woorden, het gezegde gaat, maar een groep wetenschappers uit Harvard hoopt dat het ook hetzelfde aantal vergelijkingen waard is.

Picturale wetten lijken ideeën van ongelijksoortige, interdisciplinaire kennisgebieden, ze prachtig met elkaar verbinden als elementen van een da Vinci-schilderij. De groep werkt aan de uitbreiding van de picturale wiskundige taal die vorig jaar voor het eerst werd geschetst door Arthur Jaffe, de Landon T. Clay hoogleraar wiskunde en theoretische wetenschappen, en postdoctoraal onderzoeker Zhengwei Liu.

"Er is één woord dat je hieruit kunt halen:opwinding, "Zei Jaffe. "En dat is omdat we niet alleen proberen hier of daar een probleem op te lossen, maar we proberen een nieuwe manier van denken over wiskunde te ontwikkelen, door het ontwikkelen en gebruiken van verschillende wiskundige talen op basis van afbeeldingen in twee, drie, en meer dimensies."

Vorig jaar creëerden ze een 3D-taal genaamd quon, die ze gebruikten om concepten te begrijpen die verband houden met de kwantuminformatietheorie. Nutsvoorzieningen, nieuw onderzoek heeft verleidelijke hints opgeleverd dat quon inzichten zou kunnen bieden in tal van andere gebieden in de wiskunde, van algebra tot Fourier-analyse, evenals in de theoretische natuurkunde, van statistische fysica tot snaartheorie. De onderzoekers beschrijven hun visie op het project in een paper dat op 2 januari in het tijdschrift verscheen Proceedings van de National Academy of Sciences .

"Er is het afgelopen jaar veel geëvolueerd in dit werk, en we denken dat dit het topje van de ijsberg is, "Zei Jaffe. "We hebben ontdekt dat de ideeën die we gebruikten voor kwantuminformatie relevant zijn voor een veel breder spectrum van onderwerpen. We zijn erg dankbaar dat we een subsidie ​​van de Templeton Religion Trust hebben ontvangen, waardoor we afgelopen zomer een team van onderzoekers hebben kunnen samenstellen om dit project verder te zetten. inclusief studenten, afgestudeerde studenten, en postdocs, evenals senior medewerkers bij andere instellingen."

Het kernteam bestaat uit vooraanstaande wiskundigen zoals Adrian Ocneanu, een gasthoogleraar dit jaar aan Harvard, Vaughan Jones, en Alina Vdovina. Even belangrijk zijn rijzende sterren die van over de hele wereld naar Harvard zijn gekomen, waaronder Jinsong Wu van het Harbin Institute of Technology en William Norledge, een recent afgestudeerde van de Universiteit van Newcastle. Ook betrokken zijn studenten als Alex Wozniakowski, een van de oorspronkelijke leden van het project en nu student aan de Nanyang Technological University in Singapore, het bezoeken van afgestudeerde studenten Kaifeng Bu van de Zhejiang University in Hangzhou, China, Weichen Gu en Boqing Xue van de Chinese Academie van Wetenschappen in Peking, Harvard afgestudeerde student Sruthi Narayanan, en Chase Bendarz, een student aan de Northwestern University en Harvard.

Hoewel afbeeldingen al sinds de oudheid in de wiskunde worden gebruikt, Jaffe en collega's zijn van mening dat de aanpak van het team, waarbij afbeeldingen in het algemeen op wiskunde worden toegepast en afbeeldingen worden gebruikt om de verbanden tussen wiskunde en onderwerpen als natuurkunde en cognitieve wetenschappen te onderzoeken, kan de opkomst van een nieuw veld markeren.

Onder het soort problemen dat het team al heeft kunnen oplossen, Liu zei, is een picturale manier om over Fourier-analyse na te denken.

"We hebben dit ontwikkeld, gemotiveerd door verschillende ideeën van Ocneanu, "zei hij. "Onmiddellijk, we gebruikten dit om nieuwe inzichten te geven in kwantuminformatie. Maar we ontdekten ook dat we een uitgebreide algebraïsche identiteit konden bewijzen voor formule 6j-symbolen, " een standaard instrument in representatietheorie, in de theoretische natuurkunde, en in de chemie.

Die identiteit was gevonden in een elementaire zaak, maar de Harvard-wiskundige Shamil Shakirov vermoedde dat het waar was in een algemene vorm. De groep heeft nu een bewijs op arXiv.org geplaatst dat wordt beoordeeld voor publicatie later in het jaar. Een andere zeer algemene familie van identiteiten die de groep eenvoudig heeft begrepen met behulp van de geometrische Fourier-transformatie, staat bekend als de Verlinde-fusieformules.

"Door te kijken naar de wiskundige analyse van afbeeldingen, we vonden ook enkele echt onverwachte nieuwe ongelijkheden. Ze generaliseren de beroemde onzekerheidsprincipes van [Werner] Heisenberg en van [G.H.] Hardy en worden delen van een groter verhaal, "Zei Liu. "Dus de wiskunde van de beeldtalen zelf is best interessant om te begrijpen. We zien dan hun implicaties op andere onderwerpen."

"Ik ben erg onder de indruk van dit project, want daarvoor, Ik werkte aan kwantuminformatie, maar de enige manier die ik kende was om lineaire algebra te gebruiken, " zei Bu. "Maar werken met Arthur en Zhengwei, we hebben deze beeldtaal kunnen gebruiken om nieuwe ideeën en geometrische hulpmiddelen af ​​te leiden die we kunnen gebruiken om nieuwe kwantumprotocollen te ontwikkelen. Ze zijn al nuttig geweest, en we voorzien dat deze ideeën in de toekomst brede toepassingen kunnen hebben.

"Het is geweldig, I denk, dat we een eenvoudige beeldtaal kunnen gebruiken om zeer gecompliceerde algebravergelijkingen te beschrijven, " vervolgde Bu. "Ik denk dat dit niet alleen een nieuwe aanpak is, maar een nieuw veld voor wiskunde."

Ocneanu kwam tussenbeide, "Wat hoger-dimensionale beeldtaal uiteindelijk doet, is de structuur van de ruimte op een natuurlijke manier vertalen naar wiskunde."

Terwijl traditionele, lineaire algebra vlakt 3D-concepten af ​​tot een enkele regel vergelijkingen, hij zei, de beeldtaal stelt wetenschappers in staat om 3-D en hoger-dimensionale ruimtes te gebruiken om de wereld om hen heen te vertalen.

"Ruimte, of meer in het algemeen ruimte-tijd, is een soort rekenmachine, " zei Ocneanu. "We moeten echt vertalen wat de ruimte doet in het soort dingen dat wiskundigen gebruiken, zodat we de structuur van de ruimte kunnen lezen."

Voor Noorwegen, de nieuwe wiskundige taal valt op door de manier waarop hij van een handvol relatief eenvoudige concepten een complexe theorie opbouwt.

"Mijn achtergrond ligt in representatietheorie; mijn scriptie ligt op dit gebied van wiskunde dat geometrische groepentheorie wordt genoemd, " zei hij. "Dus met een achtergrond van het gebruik van afbeeldingen en geometrische objecten, het helpt om wiskunde op deze manier toe te passen. We proberen dit nog steeds te realiseren, maar als dit allemaal doorgaat en slaagt, je hebt een heel mooi gebied van wiskunde waar je begint met slechts een paar axioma's, en vanaf dat begin kun je deze hoogst niet-triviale theorie veralgemenen met deze prachtige structuur."

"We hopen dat we uiteindelijk de ideeën die we bestuderen kunnen implementeren in nieuwe theoretisch-fysische modellen, evenals in een aantal praktische termen, Jaffe zei. Om te delen in onze opwinding, kijk eens op onze website."