Wiskundigen hebben een nieuw hoofdstuk geopend in de theorie van maneschijn, een die de macht van de paria's begint te benutten - sporadische eenvoudige groepen die voorheen geen bekende toepassing hadden.

"We hebben een nieuwe vorm van maneschijn gevonden, die in wiskunde verwijst naar een idee dat zo vergezocht is dat het klinkt als waanzin, " zegt Ken Ono, een getaltheoreticus aan de Emory University. "En we hebben deze maneschijn gebruikt om het wiskundige nut van de O'Nan-pariagroep te laten zien op een manier die het van theorie naar realiteit verplaatst. Het blijkt dat de O'Nan-groep diepgaande informatie kent over elliptische krommen."

Natuurcommunicatie publiceerde de representatietheorie voor de O'Nan-groep ontwikkeld door Ono, John Duncan (ook een getaltheoreticus bij Emory) en Michael Mertens (een voormalig postdoctoraal onderzoeker bij Emory die nu aan de Universiteit van Keulen werkt).

"We hebben laten zien dat de O'Nan-groep, een zeer grote pariagroep, organiseert elliptische krommen op een mooie en systematische manier, " zegt Duncan. "En het organiseert ze niet alleen, het stelt ons in staat om enkele van hun diepste eigenschappen te zien. Het ziet oneindig veel bochten, waardoor we onze maneschijn vervolgens kunnen gebruiken om voorspellingen te doen over hun algemene gedrag. Dat is belangrijk, omdat deze objecten ten grondslag liggen aan enkele van de moeilijkste vragen aan de horizon van de getaltheorie."

Elliptische rondingen klinken misschien esoterisch, maar ze maken deel uit van ons dagelijks leven. Ze worden gebruikt in cryptografie - het maken van codes die moeilijk te kraken zijn.

Een elliptische kromme is geen ellips, het is eerder een complexe torus, of donutvorm. "Je kunt het zien als een donut samen met specifieke, delicate configuraties van rationale punten die zeer zorgvuldig zijn geplaatst, "zegt Duncan. "Dus, in de eenvoudigste bewoordingen, het is als een donut die je eet, waar misschien hagelslag op zit. Het hele spel in de wiskunde van elliptische krommen is bepalen of de donut hagelslag heeft en, als, waar precies de hagelslag wordt geplaatst."

In tegenstelling tot een eetbare donut, echter, deze wiskundige donuts zijn niet zichtbaar.

"Stel je voor dat je een donut vasthoudt in het donker, " zegt Ono. "Je zou niet eens kunnen beslissen of er hagelslag in zit. Maar de informatie in onze O'Nan-maneschijn stelt ons in staat om onze wiskundige donuts duidelijk te 'zien' door ons een schat aan informatie te geven over de punten op elliptische krommen."

De bevindingen zijn vooral verrassend omdat geen van de paria's, aangezien zes van de sporadische eenvoudige groepen van wiskunde bekend zijn, was eerder verschenen in de maneschijntheorie, of ergens anders in de wetenschap.

De originele maneschijntheorie van Math dateert uit een paper uit 1979 genaamd "Monstrous Moonshine" van John Conway en Simon Norton. Het artikel beschreef een verrassend verband tussen een enorm algebraïsch object dat bekend staat als de monstergroep en de j-functie, een sleutelobject in de getaltheorie. anno 2015, een groep wiskundigen - waaronder Duncan en Ono - presenteerde het bewijs van het Umbral Moonshine-vermoeden, die 23 andere maneschijn onthulde, of mysterieuze verbanden tussen de dimensies van symmetriegroepen en coëfficiënten van speciale functies.

Bij theoretische wiskunde, symmetrie komt in groepen. Symmetrische oplossingen zijn meestal optimaal, omdat ze je in staat stellen een groot probleem in gelijke delen te verdelen en het sneller op te lossen.

De classificatie van de bouwstenen van groepen is verzameld in de ATLAS van Eindige Groepen, gepubliceerd in 1985. "De ATLAS is als de wiskundige versie van het periodiek systeem der elementen, maar voor symmetrie in plaats van atomen, ' legt Duncan uit.

Zowel de ATLAS als het periodiek systeem bevatten eigenzinnige karakters die al dan niet in de natuur voorkomen.

Vier superzware elementen met atoomnummers boven de 100, bijvoorbeeld, werden in 2016 ontdekt en toegevoegd aan het periodiek systeem. "Mensen moeten hard werken om deze elementen in deeltjesversnellers te produceren en ze verdwijnen onmiddellijk nadat ze zijn geconstrueerd, "zegt Ono. "Dus je moet je afvragen of ze echt deel uitmaken van onze dagelijkse chemie."

De pariagroepen stellen een soortgelijke vraag in wiskunde. Zijn het natuurlijke of gewoon theoretische constructies?

"Ons werk bewijst, Voor de eerste keer, dat een paria echt is, ' zegt Ono. 'We hebben de O'Nan-groep gevonden die in de natuur leeft. Onze stelling laat zien dat het verbonden is met elliptische krommen, en telkens wanneer je een overeenkomst vindt tussen twee objecten die schijnbaar niets met elkaar te maken hebben, het opent de deur om meer over die objecten te leren."