cyano66/iStock/GettyImages

Wanneer je voor het eerst in trigonometrie duikt, zul je een krachtige reeks hulpmiddelen tegenkomen die halve-hoekidentiteiten worden genoemd. Met deze formules kunt u trigonometrische uitdrukkingen vertalen waarbij θ betrokken is /2 omzetten in uitdrukkingen die de bekendere hoek θ gebruiken . In de praktijk helpen ze u een uitdrukking te vereenvoudigen of de exacte waarde van een goniometrische functie te berekenen wanneer het argument de helft van een bekende hoek is.

Kern-helfthoekidentiteiten

Hieronder staan de primaire identiteiten die u nodig heeft. Hoewel veel teksten ze in één vorm presenteren, kan elke tekst algebraïsch worden omgezet in verschillende nuttige variaties.

Halve hoekidentiteit voor sinus

\(\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 – \cosθ}{2}}\)

Halve hoekidentiteit voor cosinus

\(\cos\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{2}}\)

Halve hoekidentiteiten voor raaklijn

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 -\cosθ}{1 + \cosθ}}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{\sinθ}{1 + \cosθ}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{1 – \cosθ}{\sinθ}\)

\(\tan\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\cscθ – \cotθ\)

Halve hoekidentiteiten voor cotangens

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 + \cosθ}{1 – \cosθ}}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{\sinθ}{1 – \cosθ}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\frac{1 + \cosθ}{\sinθ}\)

\(\cot\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =\cscθ + \cotθ\)

Praktisch voorbeeld:sin15° berekenen

Laten we eens kijken hoe u deze identiteiten kunt toepassen om de exacte waarde van sin15° te vinden , een hoek die geen deel uitmaakt van de standaardfamilie van 30°, 45° of 60°.

1. Druk de hoek uit als de helft van een bekende waarde

Stel θ in /2 =15°, wat θ oplevert =30°. Omdat 30° een bekende hoek is, kunnen we de sinus-halve-hoekidentiteit gebruiken.

2. Selecteer de juiste formule

Omdat we zonde nodig hebben , gebruiken we:\(\sin\bigg(\frac{θ}{2}\bigg) =±\sqrt{\frac{1 – \cosθ}{2}}\)

3. Los het ±-teken

Het teken is afhankelijk van het kwadrant. Hier θ =30° ligt in KwadrantI, waar de sinus positief is, dus we laten de negatieve optie achterwege.

4. Vervang bekende waarden

Vervang cos30° met de exacte waarde \(\sqrt{3}/2\) :\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{1 – \sqrt{3}/2}{2}}\)

5. Vereenvoudig

Vermenigvuldig de teller en de noemer binnen de wortel met 2 om de breuk te wissen:\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{2(1 – \sqrt{3}/2)}{4}}\)

Dat vereenvoudigt tot:\(\sin(15°) =\sqrt{\frac{2 – \sqrt{3}}{4}}\)

Factoreer ten slotte de vierkantswortel van 4:\(\sin(15°) =\frac{1}{2}\sqrt{2 – \sqrt{3}}\)

Dus de exacte waarde van sin15° is \(\frac{1}{2}\sqrt{2 – \sqrt{3}}\) .

Snelle kwadrantreferentie voor tekenbepaling

• QuadrantI:alle functies zijn positief.
• KwadrantII:sinus en cosecans zijn positief.
• KwadrantIII:tangens en cotangens zijn positief.
• KwadrantIV:cosinus en secans zijn positief.

Door deze stappen te volgen, kunt u vol vertrouwen halve-hoekidentiteiten toepassen op elk trigonometrisch probleem, of u nu een uitdrukking vereenvoudigt of een exacte waarde zoekt.