Dankzij Einstein, we weten dat onze driedimensionale ruimte vervormd en gekromd is. En in gekromde ruimte, normale ideeën over geometrie en rechte lijnen vallen uiteen, een kans creëren om een ​​onbekend landschap met nieuwe regels te verkennen. Maar bestuderen hoe natuurkunde zich afspeelt in een gekromde ruimte is een uitdaging:net als in onroerend goed, locatie is alles.

"We weten uit de algemene relativiteitstheorie dat het universum zelf op verschillende plaatsen gekromd is, " zegt JQI-collega Alicia Kollár, die ook hoogleraar natuurkunde is aan de Universiteit van Maryland (UMD). "Maar, elke plaats waar een laboratorium is, is erg zwak gekromd, want als je naar een van deze plaatsen zou gaan waar de zwaartekracht sterk is, het zou het lab alleen maar verscheuren."

Ruimten die andere geometrische regels hebben dan die we gewoonlijk als vanzelfsprekend beschouwen, worden niet-euclidische regels genoemd. Als je niet-euclidische omgevingen zou kunnen verkennen, je zou verbijsterende landschappen vinden. De ruimte zou kunnen samentrekken zodat recht, evenwijdige lijnen trekken samen in plaats van star een vaste afstand te handhaven. Of het zou kunnen uitbreiden zodat ze voor altijd verder uit elkaar groeien. In zo'n wereld, vier wegen van gelijke lengte die allemaal zijn verbonden door bochten naar rechts in een rechte hoek, vormen mogelijk geen vierkant blok dat u terugbrengt naar uw eerste kruispunt.

Deze omgevingen doen de kernaannames van normale navigatie teniet en kunnen onmogelijk nauwkeurig worden gevisualiseerd. Niet-euclidische geometrieën zijn zo vreemd dat ze in videogames en horrorverhalen zijn gebruikt als onnatuurlijke landschappen die het publiek uitdagen of van streek maken.

Maar deze onbekende geometrieën zijn veel meer dan alleen afstandelijk, buitenaardse abstracties. Natuurkundigen zijn geïnteresseerd in nieuwe natuurkunde die gekromde ruimte kan onthullen, en niet-euclidische geometrieën zouden zelfs kunnen helpen bij het verbeteren van ontwerpen van bepaalde technologieën. Een type niet-euclidische meetkunde dat van belang is, is de hyperbolische ruimte, ook wel negatief gekromde ruimte genoemd. Zelfs een tweedimensionale fysieke versie van een hyperbolische ruimte is onmogelijk te maken in onze normale, "platte" omgeving. Maar wetenschappers kunnen nog steeds hyperbolische omgevingen nabootsen om te onderzoeken hoe bepaalde fysica zich afspeelt in een negatief gekromde ruimte.

In een recent artikel in Physical Review A, een samenwerking tussen de groepen van Kollár en JQI Fellow Alexey Gorshkov, die ook fysicus is aan het National Institute of Standards and Technology en fellow van het Joint Centre for Quantum Information and Computer Science, presenteerde nieuwe wiskundige hulpmiddelen om simulaties van hyperbolische ruimten beter te begrijpen. Het onderzoek bouwt voort op Kollár's eerdere experimenten om geordende rasters in hyperbolische ruimte te simuleren met behulp van microgolflicht op chips. Hun nieuwe gereedschapskist bevat wat zij een "woordenboek tussen discrete en continue geometrie" noemen om onderzoekers te helpen experimentele resultaten in een meer bruikbare vorm te vertalen. Met deze hulpmiddelen onderzoekers kunnen de omgekeerde wereld van de hyperbolische ruimte beter verkennen.

De situatie is niet precies zoals Alice die in het konijnenhol valt, maar deze experimenten zijn een kans om een ​​nieuwe wereld te verkennen waar verrassende ontdekkingen zich achter elke hoek kunnen verbergen en de betekenis van het omslaan van een hoek moet worden heroverwogen.

"Er zijn echt veel toepassingen van deze experimenten, " zegt JQI-postdoctoraal onderzoeker Igor Boettcher, wie is de eerste auteur van het nieuwe artikel. "Op dit punt, het is onvoorspelbaar wat er allemaal kan worden gedaan, maar ik verwacht dat het veel rijke toepassingen en veel coole fysica zal hebben."

Een gebogen nieuwe wereld

In vlakke ruimte, de kortste afstand tussen twee punten is een rechte lijn, en evenwijdige lijnen zullen elkaar nooit snijden - hoe lang ze ook zijn. In een gekromde ruimte, deze basisprincipes van geometrie zijn niet langer waar. De wiskundige definities van plat en gebogen zijn vergelijkbaar met de dagelijkse betekenis wanneer ze worden toegepast op twee dimensies. Je kunt een idee krijgen van de basisprincipes van gebogen ruimtes door je voor te stellen of te spelen met stukjes papier of kaarten.

Bijvoorbeeld, het oppervlak van een bol (of een bal) is een voorbeeld van een tweedimensionale positief gekromde ruimte. En als je van een platte kaart een wereldbol probeert te maken, je eindigt met overtollig papier dat kreukt terwijl je het in een bol buigt. Om een ​​gladde bol te hebben, moet je de overtollige ruimte verliezen, resulterend in parallelle lijnen die uiteindelijk samenkomen, zoals de lengtelijnen die parallel beginnen bij de evenaar die bij de twee polen samenkomt. Door dit verlies is je kunt een positief gekromde ruimte zien als een minder ruime ruimte dan een vlakke ruimte.

Hyperbolische ruimte is het tegenovergestelde van een positief gekromde ruimte - een meer ruime ruimte. Een hyperbolische ruimte buigt op elk punt van zichzelf af. Helaas, er is geen hyperbolisch equivalent van een bal waar je een tweedimensionaal vel in kunt forceren; het past letterlijk niet in het soort ruimte waarin we leven.

Het beste wat u kunt doen, is een zadel (of een Pringle) vorm maken waarbij het omringende blad hyperbolisch weg buigt van het middelpunt. Elk punt op een blad even hyperbolisch maken is onmogelijk; er is geen manier om te blijven buigen en papier toe te voegen om een ​​tweede perfect zadelpunt te creëren zonder dat het zich ophoopt en het eerste hyperbolische zadelpunt vervormt.

De extra ruimte van een hyperbolische geometrie maakt het bijzonder interessant omdat het betekent dat er meer ruimte is voor het vormen van verbindingen. De verschillen in de mogelijke paden tussen punten hebben invloed op hoe deeltjes op elkaar inwerken en wat voor soort uniform raster, zoals het hierboven getoonde zevenhoekraster, kan worden gemaakt. Door gebruik te maken van de extra verbindingen die mogelijk zijn in een hyperbolische ruimte, kan het moeilijker worden om delen van een raster volledig van elkaar af te snijden, die van invloed kunnen zijn op ontwerpen van netwerken zoals internet.

Navigeren door labyrintische circuits

Omdat het onmogelijk is om fysiek een hyperbolische ruimte op aarde te maken, onderzoekers moeten genoegen nemen met het creëren van laboratoriumexperimenten die enkele kenmerken van gekromde ruimte reproduceren. Kollár en collega's lieten eerder zien dat ze een uniform, tweedimensionale gekromde ruimte. De simulaties worden uitgevoerd met behulp van circuits (zoals hierboven getoond) die dienen als een zeer georganiseerd doolhof waar microgolven doorheen kunnen reizen.

Een kenmerk van de circuits is dat microgolven onverschillig zijn voor de vormen van de resonatoren die ze bevatten en alleen worden beïnvloed door de totale lengte. Het maakt ook niet uit in welke hoek de verschillende paden aansluiten. Kollár realiseerde zich dat deze feiten betekenen dat de fysieke ruimte van het circuit effectief kan worden uitgerekt of samengedrukt om een ​​niet-euclidische ruimte te creëren - althans wat de microgolven betreft.

In hun eerdere werk, Kollár en collega's waren in staat om doolhoven te creëren met verschillende zigzaggende padvormen en om aan te tonen dat de circuits hyperbolische ruimte simuleerden. Ondanks het gemak en de ordelijkheid van de circuits die ze gebruikten, de fysica die erin speelt, vertegenwoordigt nog steeds een vreemde nieuwe wereld die nieuwe wiskundige hulpmiddelen vereist om efficiënt te navigeren.

Hyperbolische ruimten bieden natuurkundigen andere wiskundige uitdagingen dan de Euclidische ruimten waarin ze normaal werken. Bijvoorbeeld, onderzoekers kunnen de standaard truc van de natuurkundige om zich een steeds kleiner wordend rooster voor te stellen niet gebruiken om erachter te komen wat er gebeurt voor een oneindig klein raster, die moet werken als een soepele, continue ruimte. Dit komt omdat in een hyperbolische ruimte de vorm van het rooster verandert met zijn grootte als gevolg van de kromming van de ruimte. Het nieuwe document stelt wiskundige hulpmiddelen vast, zoals een woordenboek tussen discrete en continue geometrie, om deze problemen te omzeilen en de resultaten van simulaties te begrijpen.

Met de nieuwe instrumenten onderzoekers kunnen exacte wiskundige beschrijvingen en voorspellingen krijgen in plaats van alleen kwalitatieve observaties te doen. Met het woordenboek kunnen ze continue hyperbolische ruimten bestuderen, ook al is de simulatie alleen van een raster. Met het woordenboek, onderzoekers kunnen een beschrijving nemen van microgolven die tussen de verschillende punten van het raster reizen en deze vertalen in een vergelijking die vloeiende diffusie beschrijft, of zet wiskundige sommen over alle plaatsen op het rooster om in integralen, wat handiger is in bepaalde situaties.

"Als je me een experiment geeft met een bepaald aantal sites, dit woordenboek vertelt je hoe je het kunt vertalen naar een omgeving in een continue hyperbolische ruimte, ' zegt Boettcher. 'Met het woordenboek, we kunnen alle relevante parameters afleiden die u moet weten in de laboratoriumopstelling, speciaal voor eindige of kleine systemen, wat altijd experimenteel belangrijk is."

Met de nieuwe tools om simulatieresultaten beter te begrijpen, onderzoekers zijn beter toegerust om vragen te beantwoorden en ontdekkingen te doen met de simulaties. Boettcher zegt optimistisch te zijn dat de simulaties nuttig zijn voor het onderzoeken van de AdS/CFT-correspondentie, een natuurkundig vermoeden voor het combineren van theorieën over kwantumzwaartekracht en kwantumveldentheorieën met behulp van een niet-euclidische beschrijving van het universum. En Kollár is van plan te onderzoeken of deze experimenten nog meer natuurkunde kunnen onthullen door interacties in de simulaties op te nemen.

"De hardware opende een nieuwe deur, " zegt Kollár. "En nu willen we zien tot welke natuurkunde dit ons zal brengen."