In een geometrische reeks is elke term gelijk aan de vorige term maal een constante, niet-nul vermenigvuldiger die de gemeenschappelijke factor wordt genoemd. Geometrische reeksen kunnen een vast aantal termen hebben of ze kunnen oneindig zijn. In beide gevallen kunnen de termen van een geometrische reeks snel zeer groot, zeer negatief of zeer dicht bij nul worden. In vergelijking met rekenkundige reeksen veranderen de termen veel sneller, maar terwijl oneindige rekenkundige reeksen gestaag toenemen of afnemen, kunnen geometrische reeksen nul naderen, afhankelijk van de gemeenschappelijke factor.

TL; DR (te lang; niet) Gelezen)

Een geometrische reeks is een geordende lijst met getallen waarin elke term het product is van de vorige term en een vaste, niet-nul vermenigvuldiger die de gemeenschappelijke factor wordt genoemd. Elke term van een geometrische reeks is het geometrische gemiddelde van de termen die eraan voorafgaan en die erop volgen. Oneindige geometrische reeksen met een gemeenschappelijke factor tussen +1 en -1 naderen de limiet van nul naarmate termen worden toegevoegd, terwijl reeksen met een gemeenschappelijke factor groter dan +1 of kleiner dan -1 naar plus of min oneindig gaan.
Hoe geometrische reeksen Werk

Een geometrische reeks wordt gedefinieerd door het startnummer a, de gemeenschappelijke factor r en het aantal termen S. De overeenkomstige algemene vorm van een geometrische reeks is:
a, ar, ar ^{2, ar 3 ... ar S-1.}

De algemene formule voor term n van een geometrische reeks (dwz elke term binnen die reeks) is:
a < sub> n \u003d ar ^n-1.

De recursieve formule, die een term definieert ten opzichte van de vorige term, is:
a _{n \u003d ra n- 1}

Een voorbeeld van een geometrische reeks met startnummer 3, gemeenschappelijke factor 2 en acht termen is 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384. Berekening van de laatste term met behulp van het vermelde algemene formulier hierboven is de term:

a _{8 \u003d 3 × 2 ^{8-1 \u003d 3 × 2 7 \u003d 3 × 128 \u003d 384.}}

De algemene formule gebruiken voor term 4:

a _{4 \u003d 3 × 2 ^{4-1 \u003d 3 × 2 3 \u003d 24.}}

Als u wilt de recursieve formule gebruiken voor term 5, dan term 4 \u003d 24, en een _{5 is gelijk aan:}

a _{5 \u003d 2 × 24 \u003d 48.
Eigenschappen geometrische geometrie}

Geometrische reeksen hebben speciale eigenschappen wat het geometrische gemiddelde betreft. Het geometrische gemiddelde van twee getallen is de vierkantswortel van hun product. Het geometrische gemiddelde van 5 en 20 is bijvoorbeeld 10 omdat het product 5 × 20 \u003d 100 en de vierkantswortel van 100 10 is.

In geometrische reeksen is elke term het geometrische gemiddelde van de term ervoor en de term erna. In de reeks 3, 6, 12 ... hierboven is 6 bijvoorbeeld het geometrische gemiddelde van 3 en 12, is 12 het geometrische gemiddelde van 6 en 24 en 24 is het geometrische gemiddelde van 12 en 48.

Andere eigenschappen van geometrische reeksen zijn afhankelijk van de gemeenschappelijke factor. Als de gemeenschappelijke factor r groter is dan 1, zullen oneindige geometrische reeksen positieve oneindigheid naderen. Als r tussen 0 en 1 is, zullen de reeksen nul naderen. Als r tussen nul en -1 ligt, zullen de reeksen nul naderen, maar de termen wisselen tussen positieve en negatieve waarden. Als r kleiner is dan -1, zullen de termen naar zowel positieve als negatieve oneindigheid evolueren, omdat ze afwisselen tussen positieve en negatieve waarden.

Geometrische reeksen en hun eigenschappen zijn vooral nuttig in wetenschappelijke en wiskundige modellen van echte processen . Het gebruik van specifieke sequenties kan helpen bij de studie van populaties die met een vaste snelheid groeien gedurende bepaalde perioden of investeringen die rente verdienen. De algemene en recursieve formules maken het mogelijk om in de toekomst nauwkeurige waarden te voorspellen op basis van het startpunt en de gemeenschappelijke factor.