In wiskunde en meetkunde is een van de vaardigheden die de experts onderscheidt van de pretenders de kennis van trucs en snelkoppelingen. De tijd die u besteedt aan het leren van hen loont in de tijd die u bespaart als u problemen oplost. Het is bijvoorbeeld de moeite waard om twee speciale rechthoekige driehoeken te kennen die, zodra u ze herkent, een handigheidje zijn om op te lossen. De twee driehoeken in het bijzonder zijn de 30-60-90 en de 45-45-90.

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Twee speciale rechthoekige driehoeken hebben interne hoeken van 30, 60 en 90 graden en 45, 45 en 90 graden.

Over juiste driehoeken

Driehoeken zijn driezijdige polygonen waarvan de interne hoeken 180 graden bedragen. De rechthoekige driehoek is een speciaal geval waarin een van de hoeken 90 graden is, dus de andere twee hoeken moeten per definitie 90 zijn. De sinus-, cosinus-, tangens- en andere trigonometrische functies bieden manieren om de interne hoeken van de rechter driehoeken te berekenen evenals de lengte van hun zijden. Een ander onmisbaar rekenhulpmiddel voor rechterdriehoeken is de stelling van Pythagoras, die stelt dat het kwadraat van de lengte van de hypotenusa gelijk is aan de som van de vierkanten van de andere twee zijden, of c ^{2 = a 2 + b 2.}

Oplossen van driehoeken met speciale rechten

Wanneer u werkt aan een probleem met een rechte driehoek, krijgt u meestal ten minste één hoek en één zijde en wordt u gevraagd om bereken de resterende hoeken en zijden. Met bovenstaande Pythagorean-formule kunt u de lengte van elke zijde berekenen als u de andere twee krijgt. Een groot voordeel van de speciale rechthoekige driehoeken is dat de verhoudingen van de lengtes van hun zijden altijd hetzelfde zijn, zodat u de lengte van alle zijden kunt vinden als u er slechts één krijgt. En als je slechts één kant krijgt, en de driehoek is speciaal, kun je ook de waarden van de hoeken vinden.

De 30-60-90 Driehoek

Zoals de naam al zegt impliceert dat de rechthoekige 30-60-90-driehoek interne hoeken van 30, 60 en 90 graden heeft. Dientengevolge vallen de zijden van deze driehoek in de verhoudingen, 1: 2: √3, waarbij 1 en √3 de lengten zijn van de tegenoverliggende en aangrenzende zijden en 2 de hypotenusa is. Deze nummers gaan altijd samen: als je de zijden van een rechthoekige driehoek oplost en vindt dat ze passen in het patroon, 1, 2, √3, weet je dat de hoeken 30, 60 en 90 graden zijn. Evenzo, als je een van de hoeken krijgt als 30, weet je dat de andere twee 60 en 90 zijn, en ook dat de zijkanten de verhoudingen hebben, 1: 2: √3.

De 45- 45-90 Driehoek

De driehoek 45-45-90 lijkt veel op de 30-60-90, behalve dat twee hoeken gelijk zijn, evenals de tegenoverliggende en aangrenzende zijden. Het heeft interne hoeken van 45, 45 en 90 graden. De verhoudingen van de zijden van de driehoek zijn 1: 1: √2, waarbij de proportie van de hypotenusa √2 is. De andere twee zijden zijn gelijk in lengte ten opzichte van elkaar. Als je aan een rechthoekige driehoek werkt en een van de binnenhoeken 45 graden is, weet je in een oogwenk dat de resterende hoek ook 45 graden moet zijn, omdat de hele driehoek moet oplopen tot 180 graden.

Driehoeken, zijden en verhoudingen

Let bij het oplossen van de twee speciale rechthoekige driehoeken op dat het de proporties
van de kanten is die er toe doen, niet hun absolute waarden. Een driehoek heeft bijvoorbeeld zijden die 1 voet en 1 voet meten, en √2 voet, zodat u weet dat het een 45-45-90 driehoek is en interne hoeken van 45, 45 en 90 graden heeft.

Maar wat doe je met een rechthoekige driehoek waarvan de zijkanten √17 voet en √17 voet meten? De verhoudingen van de zijkanten zijn de sleutel. Omdat de twee zijden identiek zijn, is de verhouding 1: 1 met elkaar, en omdat het een rechthoekige driehoek is, is de verhouding van de schuine zijde 1: √2 met een van de andere zijden. De gelijke verhoudingen geven je een tip dat de zijkanten 1, 1, √2 zijn, die alleen bij de speciale driehoek 45-45-90 hoort. Om de hypotenusa te vinden, vermenigvuldig √17 met √2 om √34 feet te krijgen.