Wat doe je na het oplossen van het antwoord op het leven, het universum, en alles? Als jullie wiskundigen Drew Sutherland en Andy Booker zijn, je gaat voor het moeilijkere probleem.

in 2019, Boeker, aan de Universiteit van Bristol, en Sutherland, hoofdonderzoeker aan het MIT, waren de eersten die het antwoord op 42 vonden. Het nummer heeft een popcultuurbetekenis als het fictieve antwoord op "de ultieme vraag van het leven, het universum, en alles, " zoals Douglas Adams beroemd schreef in zijn roman "The Hitchhiker's Guide to the Galaxy". althans in de roman, is frustrerend, hilarisch onbekend.

In wiskunde, geheel toevallig, er bestaat een polynoomvergelijking waarvoor het antwoord, 42, was op dezelfde manier de wiskundigen al decennia ontgaan. de vergelijking x ³ +y ³ +z ³ =k staat bekend als de som van kubussen probleem. Hoewel ogenschijnlijk eenvoudig, de vergelijking wordt exponentieel moeilijk op te lossen wanneer het wordt geframed als een "Diophantische vergelijking" - een probleem dat bepaalt dat, voor elke waarde van k, de waarden voor x, ja, en z moeten elk hele getallen zijn.

Wanneer de vergelijking van de som van de kubussen op deze manier wordt opgesteld, voor bepaalde waarden van k, de gehele oplossingen voor x, ja, en z kan uitgroeien tot enorme aantallen. De getallenruimte die wiskundigen moeten doorzoeken voor deze getallen is nog groter, ingewikkelde en omvangrijke berekeningen vereisen.

Door de jaren heen, wiskundigen waren er op verschillende manieren in geslaagd om de vergelijking op te lossen, ofwel een oplossing vinden ofwel vaststellen dat een oplossing niet mag bestaan, voor elke waarde van k tussen 1 en 100, behalve voor 42.

In september 2019, Boeker en Sutherland, gebruikmakend van de gecombineerde kracht van een half miljoen thuiscomputers over de hele wereld, vond voor het eerst een oplossing voor 42. De breed uitgemeten doorbraak spoorde het team aan om een ​​nog hardere, en in sommige opzichten meer universeel probleem:het vinden van de volgende oplossing voor 3.

Booker en Sutherland hebben nu de oplossingen voor 42 en 3 gepubliceerd, samen met verschillende andere getallen groter dan 100, deze week in de Proceedings van de National Academy of Sciences .

De handschoen oppakken

De eerste twee oplossingen voor de vergelijking x ³ +y ³ +z ³ =3 is misschien duidelijk voor elke middelbare schoolalgebrastudent, waar x, ja, en z kan ofwel 1, 1, en 1, of 4, 4, en -5. Een derde oplossing vinden, echter, heeft decennialang deskundige getaltheoretici versteld doen staan, en in 1953 zette de puzzel de baanbrekende wiskundige Louis Mordell ertoe aan de vraag te stellen:is het zelfs mogelijk om te weten of er andere oplossingen voor 3 bestaan?

"Dit was een beetje zoals Mordell die de handschoen neergooide, ", zegt Sutherland. "Het belang bij het oplossen van deze vraag gaat niet zozeer om de specifieke oplossing, maar om beter te begrijpen hoe moeilijk deze vergelijkingen op te lossen zijn. Het is een maatstaf waaraan we ons kunnen meten."

Terwijl decennia verstreken zonder nieuwe oplossingen voor 3, velen begonnen te geloven dat er geen te vinden was. Maar al snel na het vinden van het antwoord op 42, De methode van Booker en Sutherland, in een verrassend korte tijd kwam de volgende oplossing voor 3:

569936821221962380720 ³ + (-569936821113563493509) ³ + (-472715493453327032) ³ =3

De ontdekking was een direct antwoord op de vraag van Mordell:Ja, het is mogelijk om de volgende oplossing voor 3 te vinden, en wat meer is, hier is die oplossing. En misschien meer universeel, de oplossing, met gigantische, 21-cijferige nummers die tot nu toe niet konden worden uitgezocht, suggereert dat er meer oplossingen zijn, voor 3, en andere waarden van k.

"Er was enige serieuze twijfel in de wiskundige en computationele gemeenschappen, omdat [de vraag van Mordell] erg moeilijk te testen is, ' zegt Sutherland. 'De cijfers worden zo snel zo groot. Je zult nooit meer vinden dan de eerste paar oplossingen. Maar wat ik kan zeggen is, deze ene oplossing hebben gevonden, Ik ben ervan overtuigd dat er oneindig veel meer zijn."

De draai van een oplossing

Om de oplossingen voor zowel 42 als 3 te vinden, het team begon met een bestaand algoritme, of een verdraaiing van de som van kubussenvergelijking in een vorm waarvan zij dachten dat deze beter beheersbaar zou zijn om op te lossen:

k - z ³ =x ³ + ja ³ =(x + y)(x ² - xy + y ² )

Deze benadering werd voor het eerst voorgesteld door wiskundige Roger Heath-Brown, die vermoedde dat er oneindig veel oplossingen zouden zijn voor elke geschikte k. Het team heeft het algoritme verder aangepast door x+y als een enkele parameter weer te geven, NS. Vervolgens verminderden ze de vergelijking door beide zijden te delen door d en alleen de rest te behouden - een bewerking in de wiskunde die "modulo d" wordt genoemd - waardoor een vereenvoudigde weergave van het probleem overblijft.

"Je kunt k nu zien als een derdemachtswortel van z, modulo d, Sutherland legt uit. "Dus stel je voor dat je in een rekenkundig systeem werkt waar je alleen om de rest modulo d geeft, en we proberen een derdemachtswortel van k te berekenen."

Met deze slankere versie van de vergelijking, de onderzoekers zouden alleen moeten zoeken naar waarden van d en z die zouden garanderen dat ze de ultieme oplossingen voor x zouden vinden, ja, en zo, voor k=3. Maar nog steeds, de ruimte van getallen die ze zouden moeten doorzoeken zou oneindig groot zijn.

Dus, de onderzoekers optimaliseerden het algoritme door wiskundige 'zeef'-technieken te gebruiken om de ruimte voor mogelijke oplossingen voor d drastisch te verkleinen.

"Dit omvat een redelijk geavanceerde getaltheorie, de structuur gebruiken van wat we weten over getalvelden om te voorkomen dat we zoeken op plaatsen waar we niet hoeven te zoeken, ' zegt Sutherland.

Een globale taak

Het team ontwikkelde ook manieren om de zoekopdracht van het algoritme efficiënt te splitsen in honderdduizenden parallelle verwerkingsstromen. Als het algoritme op slechts één computer zou worden uitgevoerd, het zou honderden jaren hebben geduurd om een ​​oplossing voor k=3 te vinden. Door de taak op te delen in miljoenen kleinere taken, elk afzonderlijk draaien op een aparte computer, het team zou hun zoektocht verder kunnen versnellen.

In september 2019, de onderzoekers zetten hun plan in werking via Charity Engine, een project dat door elke pc als gratis app kan worden gedownload, en die is ontworpen om alle extra rekenkracht thuis te benutten om gezamenlijk moeilijke wiskundige problemen op te lossen. Destijds, Het raster van Charity Engine omvatte meer dan 400, 000 computers over de hele wereld, en Booker en Sutherland konden hun algoritme op het netwerk uitvoeren als test van het nieuwe softwareplatform van Charity Engine.

"Voor elke computer in het netwerk, hun wordt verteld, 'Het is jouw taak om te zoeken naar d's waarvan de priemfactor binnen dit bereik valt, onder bepaalde andere voorwaarden, '" zegt Sutherland. "En we moesten bedenken hoe we de taak konden verdelen in ongeveer 4 miljoen taken die elk ongeveer drie uur in beslag zouden nemen voor een computer."

Heel snel, het globale raster keerde de allereerste oplossing terug naar k=42, en slechts twee weken later, de onderzoekers bevestigden dat ze de derde oplossing voor k =3 hadden gevonden - een mijlpaal die ze markeerden, gedeeltelijk, door de vergelijking op t-shirts af te drukken.

Het feit dat er een derde oplossing voor k=3 bestaat, suggereert dat het oorspronkelijke vermoeden van Heath-Brown juist was en dat er oneindig veel meer oplossingen zijn dan deze nieuwste. Heath-Brown voorspelt ook dat de ruimte tussen oplossingen exponentieel zal groeien, samen met hun zoekopdrachten. Bijvoorbeeld, in plaats van de 21-cijferige waarden van de derde oplossing, de vierde oplossing voor x, ja, en z zal waarschijnlijk betrekking hebben op getallen met maar liefst 28 cijfers.

"De hoeveelheid werk die je voor elke nieuwe oplossing moet doen, groeit met een factor van meer dan 10 miljoen, dus de volgende oplossing voor 3 heeft 10 miljoen keer 400 nodig, 000 computers te vinden, en er is geen garantie dat dat zelfs genoeg is, "zegt Sutherland. "Ik weet niet of we ooit de vierde oplossing zullen weten. Maar ik geloof wel dat het daarbuiten is."