Een wiskundige van de RUDN University (Rusland) en een collega hebben de voorwaarden voor stabilisatie van differentiële ongelijkheden van hoge orde bepaald. Met dit resultaat kunnen wiskundigen beperkingen opleggen aan de oplossingen van vergelijkingen die sommige fysische processen beschrijven, zoals diffusieprocessen en convectieprocessen. Het artikel is gepubliceerd in het tijdschrift Asymptotische analyse .

Interesse in differentiële ongelijkheden komt voort uit een groot aantal wiskundige modelleringsproblemen in de natuurwetenschappen, evenals bij het oplossen van technische en fysieke problemen. Het is vaak nodig om verschillende functies te definiëren die verband houden met verschillende differentiële ongelijkheden. Hiervoor is een gelijk aantal ongelijkheden nodig. Als elk van deze ongelijkheden differentieel is, dat is, heeft de vorm van een relatie die onbekende functies en hun afgeleiden verbindt, dit is een systeem van differentiële ongelijkheden. Systemen van differentiële ongelijkheden beschrijven echte fysieke processen met een zekere mate van nauwkeurigheid (bijvoorbeeld apparaten die fysieke verschijnselen registreren, zijn niet perfect en bevatten enkele fouten). Het kan blijken dat een kleine fout in de initiële gegevens significante veranderingen veroorzaakt in de oplossing van de ongelijkheid. Daarom, het is belangrijk om limieten te stellen aan de oplossingen van differentiaalvergelijkingen.

Andrey Shishkov van S.M. Nikol'skii Mathematisch Instituut van de RUDN Universiteit en Andrej Kon'kov van de Staatsuniversiteit van Moskou verkregen het resultaat, die de klassieke Keller-Osserman-voorwaarde voor differentiaalvergelijkingen generaliseert. De stelling van Keller-Osserman bevat voorwaarden voor het ontbreken van positieve oplossingen voor niet-lineaire elliptische ongelijkheden van de tweede orde. Deze stelling dient als basis voor studies naar de afwezigheid van oplossingen voor vergelijkingen en ongelijkheden. Bovendien, voor differentiële operatoren van hoge orde, alle eerder bekende onderzoeken waren beperkt tot het geval van niet-lineariteit van de macht. Het geval van willekeurige niet-lineariteit is alleen bestudeerd voor tweede-orde-operators. Wiskundigen hebben differentiële ongelijkheden van hogere ordes onderzocht en hun resultaat is van toepassing op een brede klasse van problemen - vergelijkingen van de tweede en derde orde.

De resultaten kunnen worden toegepast op zowel parabolische als zogenaamde anti-parabolische ongelijkheden. Parabolische vergelijkingen zijn wijdverbreid in de natuurkunde:deze omvatten vergelijkingen die de processen van convectie beschrijven, diffusie en het specifieke geval - de warmtegeleidingsvergelijking; het Navier-Stokes-systeem van vergelijkingen dat de beweging van vloeistoffen en gassen beschrijft, is een systeem van parabolische vergelijkingen met uiteenlopende beperkingen.

De vragen werden voorheen voornamelijk bestudeerd voor differentiaaloperatoren van de tweede orde, en het geval van hogere-orde operators is veel minder bestudeerd. Wiskundigen deden onderzoek naar differentiële ongelijkheden van hogere orde en verkregen voldoende stabilisatiecondities voor zogenaamde zwakke oplossingen van differentiële ongelijkheden. Tegelijkertijd, de beginvoorwaarden worden niet gesteld aan de oplossingen van de bestudeerde differentiaalongelijkheid. De auteurs stellen ook geen ellipticiteitsvoorwaarden voor de coëfficiënten van de differentiaaloperator.