Een polynoom is een uitdrukking die zich bezighoudt met afnemende krachten van 'x', zoals in dit voorbeeld: 2X ^ 3 + 3X ^ 2 - X + 6. Als een polynoom van graad twee of hoger is getekend, het produceert een curve. Deze curve kan van richting veranderen, waar het begint als een stijgende curve, dan een hoog punt bereikt waar het van richting verandert en een neerwaartse curve wordt. Omgekeerd kan de curve afnemen tot een dieptepunt waarna deze de richting omkeert en een stijgende curve wordt. Als de mate hoog genoeg is, kunnen er verschillende van deze keerpunten zijn. Er kunnen evenveel keerpunten zijn als één minder dan de graad - de grootte van de grootste exponent - van het polynoom.

Zoek de afgeleide van het polynoom. Dit is een eenvoudiger polynoom - één graad minder - dat beschrijft hoe de oorspronkelijke veelterm verandert. Het derivaat is nul wanneer het oorspronkelijke polynoom zich op een keerpunt bevindt - het punt waarop de grafiek niet toeneemt of afneemt. De wortels van het derivaat zijn de plaatsen waar het oorspronkelijke polynoom omslagpunten heeft. Omdat het derivaat een graad minder heeft dan het oorspronkelijke polynoom, zal er hoogstens één keer minder kantelmoment zijn dan de oorspronkelijke polynoom.

Vorm het derivaat van een polynomiale term per term. Het patroon is dit: bX ^ n wordt bnX ^ (n - 1). Pas het patroon op elke term behalve de constante term toe. Derivaten drukken verandering uit en constanten veranderen niet, dus de afgeleide van een constante is nul. Bijvoorbeeld, de afgeleiden van X ^ 4 + 2X ^ 3 - 5X ^ 2 - 13X + 15 is 4X ^ 3 + 6X ^ 2 - 10X - 13. De 15 verdwijnt omdat het derivaat van 15, of een constante, nul is. De afgeleide 4X ^ 3 + 6X ^ 2 - 10X - 13 beschrijft hoe X ^ 4 + 2X ^ 3 - 5X ^ 2 - 13X + 15 verandert.

Vind de keerpunten van een voorbeeld polynoom X ^ 3 - 6X ^ 2 + 9X - 15. Zoek eerst het derivaat door de patroonterm per term toe te passen om het afgeleide polynoom 3X ^ 2 -12X + 9 te krijgen. Stel het derivaat in op nul en factor om de wortels te vinden. 3X ^ 2 -12X + 9 = (3X - 3) (X - 3) = 0. Dit betekent dat X = 1 en X = 3 zijn wortels van 3X ^ 2 -12X + 9. Dit betekent dat de grafiek van X ^ 3 - 6X ^ 2 + 9X - 15 zal van richting veranderen wanneer X = 1 en wanneer X = 3.

Tip - <<

Waarschuwing

De mate van het derivaat geeft de maximaal aantal wortels. In het geval van meerdere wortels of complexe wortels, kan het afgeleide niveau op nul minder wortels hebben, wat betekent dat het oorspronkelijke polynoom mogelijk niet zo vaak van richting verandert als je zou verwachten. De vergelijking Y = (X - 1) ^ 3 heeft bijvoorbeeld geen keerpunten.