Het traagheidsmoment voor elk object kan worden gevonden met behulp van calculus en de formule voor het traagheidsmoment van een puntmassa.


Rotation Kinetic Energy Equation

De formule voor rotatiekinetische energie wordt gegeven door:
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2

Waar I
het traagheidsmoment van het object is en ω
is de hoeksnelheid van het object in radialen per seconde (rad /s). De SI-eenheid voor rotatiekinetische energie is de joule (J).

De vorm van de formule voor rotatiekinetische energie is analoog aan de vergelijking van de translationele kinetische energie; traagheidsmoment speelt de rol van massa, en hoeksnelheid vervangt lineaire snelheid. Merk op dat de rotatie-kinetische energievergelijking hetzelfde resultaat geeft voor een puntmassa als de lineaire vergelijking.

Als we ons een puntmassa voorstellen m
die in een cirkel met een straal r beweegt
met snelheid v
, dan is zijn hoeksnelheid ω \u003d v /r en is zijn traagheidsmoment mr ^{2. Beide kinetische energievergelijkingen geven hetzelfde resultaat als verwacht:
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v /r) ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} \\ frac {m \\ cancel {r ^ 2} v ^ 2} {\\ cancel {r ^ 2}} \u003d \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d KE_ {lin}}

Als een object zowel roteert en het massamiddelpunt ervan langs een rechte lijn beweegt (zoals bijvoorbeeld met een rollende band gebeurt), dan is de totale kinetische energie
de som van de rotatiekinetische energie en de translationele kinetische energieën:
KE_ {tot} \u003d KE_ {rot} + KE_ {lin} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 + \\ frac {1} { 2} mv ^ 2 Voorbeelden De rotatiekinetische energieformule gebruiken

De rotatiekinetische energieformule heeft vele toepassingen. Het kan worden gebruikt om de eenvoudige kinetische energie van een draaiend object te berekenen, om de kinetische energie van een rollend object (een object dat zowel rotatie- als translatiebewegingen ondergaat) te berekenen en op te lossen voor andere onbekenden. Beschouw de volgende drie voorbeelden:

Voorbeeld 1: de aarde draait ongeveer om de 24 uur rond zijn as. Als we aannemen dat het een uniforme dichtheid heeft, wat is dan zijn rotatiekinetische energie? (De straal van de aarde is 6,37 × 10 ^{6 m en de massa is 5,97 × 10 24 kg.)}

Om de rotatiekinetische energie te vinden, moeten we eerst het moment vinden van traagheid. Door de aarde als een bol te benaderen, krijgen we:
I \u003d \\ frac {2} {5} mr ^ 2 \u003d \\ frac {2} {5} (5.97 \\ times10 ^ {24} \\ text {kg}) (6.37 \\ times10 ^ 6 \\ text {m}) ^ 2 \u003d 9.69 \\ times10 ^ {37} \\ text {kgm} ^ 2

De hoeksnelheid is 2π radialen /dag. Dit omzetten naar rad /s geeft:
2 \\ pi \\ frac {\\ text {radians}} {\\ cancel {\\ text {day}}} \\ frac {1 \\ cancel {\\ text {day}}} {86400 \\ text {seconds}} \u003d 7.27 \\ times10 ^ {- 5} \\ text {rad /s}

Dus de rotatiekinetische energie van de aarde is dan:
KE_ {rot} \u003d \\ frac {1} { 2} I \\ omega ^ 2 \u003d \\ frac {1} {2} (9.69 \\ times10 ^ {37} \\ text {kgm} ^ 2) (7.27 \\ times10 ^ {- 5} \\ text {rad /s}) ^ 2 \u003d 2.56 \\ keer 10 ^ {29} \\ text {J}

Leuk feit: dit is meer dan 10 keer de totale energie die de zon binnen een minuut uitstraalt!

Voorbeeld 2: Een uniforme cilinder met een massa van 0,75 kg en een straal van 0,1 m rolt over de vloer met een constante snelheid van 4 m /s. Wat is zijn kinetische energie?

De totale kinetische energie wordt gegeven door:
KE_ {tot} \u003d \\ frac {1} {2} I \\ omega ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2

In dit geval is I \u003d 1/2 mr ^{2 het traagheidsmoment voor een massieve cilinder en is ω
gerelateerd aan de lineaire snelheid via ω \u003d v /r_ ._}

Het vereenvoudigen van de uitdrukking voor totale kinetische energie en het inpluggen van waarden geeft:
KE_ {tot} \u003d \\ frac {1} {2} (\\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v /r) ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d \\ frac {1} {4} mv ^ 2 + \\ frac {1} {2} mv ^ 2 \u003d \\ frac {3} { 4} mv ^ 2 \\\\ \u003d \\ frac {3} {4} (0.75 \\ text {kg}) (4 \\ text {m /s}) \u003d 2.25 \\ text {J}

Merk op dat we Het viel weg vanwege de directe relatie tussen rotatiesnelheid en lineaire snelheid.

Voorbeeld 3: Een student op een fiets loopt van een heuvel naar beneden. Als de verticale hoogte van de heuvel 30 m is, hoe snel gaat de student dan onderaan de heuvel? Stel dat de fiets 8 kg weegt, de rijder 50 kg, elk wiel weegt 2,2 kg (inbegrepen in fietsgewicht) en elk wiel heeft een diameter van 0,7 m. Benader de wielen als hoepels en neem aan dat wrijving te verwaarlozen is.

Hier kunnen we mechanische energiebesparing gebruiken om de eindsnelheid te vinden. De potentiële energie op de top van de heuvel wordt onderaan omgezet in kinetische energie. Die kinetische energie is de som van de translationele kinetische energie van het hele persoon + fietssysteem en de roterende kinetische energieën van de banden.

Totale energie van het systeem:
E_ {tot} \u003d PE_ { top} \u003d mgh \u003d (50 \\ text {kg} + 8 \\ text {kg}) (9.8 \\ text {m /s} ^ 2) (30 \\ text {m}) \u003d 17,052 \\ text {J}

De formule voor totale energie in termen van kinetische energieën onderaan de heuvel is:
E_ {tot} \u003d KE_ {bottom} \u003d \\ frac {1} {2} I_ {tyres} \\ omega ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d \\ frac {1} {2} (2 \\ times m_ {tyre} \\ times r_ {tyre} ^ 2) (v /r_ {tyre}) ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d m_ {tyre} v ^ 2 + \\ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\\\ \u003d (m_ {tyre } + \\ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2

Oplossen voor v
geeft:
v \u003d \\ sqrt {\\ frac {E_ {tot}} {m_ {tyre} + \\ frac {1} {2} m_ {tot}}}

Eindelijk, als we cijfers invoegen, krijgen we ons antwoord:
v \u003d \\ sqrt {\\ frac {17,052 \\ text {J}} { 2.2 \\ text {kg} + \\ frac {1} {2} 58 \\ text {kg}}} \u003d 23.4 \\ text {m /s}