Of het nu gaat om een schaatser die in haar armen trekt en sneller draait als zij of een kat die regelt hoe snel hij tijdens een val draait om ervoor te zorgen dat hij op zijn landt voeten, het concept van een traagheidsmoment is cruciaal voor de fysica van rotatiebeweging.

Anders bekend als rotatietraagheid, is het traagheidsmoment de rotatie-analoog van massa in de tweede van de bewegingswetten van Newton. de neiging van een object om hoekversnelling te weerstaan.

Het concept lijkt in eerste instantie misschien niet zo interessant, maar in combinatie met de wet van behoud van hoekmomentum kan het worden gebruikt om vele fascinerende fysische fenomenen te beschrijven en beweging voorspellen in een breed scala van situaties.
Definitie van traagheidsmoment

Het traagheidsmoment voor een object beschrijft zijn weerstand tegen hoekversnelling, rekening houdend met de verdeling van de massa rond zijn rotatieas op.

Het kwantificeert in wezen hoe moeilijk het is om de snelheid van de rotatie van een object te veranderen, of dat betekent dat het begint te roteren, te stoppen of de snelheid van een reeds roterend object te veranderen. wordt soms rotatietraagheid genoemd, en het is nuttig om het als een analoog van massa te beschouwen in de tweede wet van Newton: F _{net
\u003d ma
. Hier wordt de massa van een object vaak de traagheidsmassa genoemd en het beschrijft de weerstand van het object tegen (lineaire) beweging. Rotatie inertie werkt op dezelfde manier voor rotatiebeweging, en de wiskundige definitie omvat altijd massa.}

De equivalente uitdrukking aan de tweede wet voor rotatiebeweging heeft betrekking op koppel
( τ
, de rotatieanaloog van kracht) naar hoekversnelling α
en traagheidsmoment I
: τ
\u003d Iα
.

Hetzelfde object kan echter meerdere traagheidsmomenten hebben, omdat een groot deel van de definitie betrekking heeft op de verdeling van massa, maar ook rekening houdt met de locatie van de rotatie-as.

Bijvoorbeeld, terwijl de traagheidsmoment voor een staaf die rond zijn midden draait is I
\u003d ML
^{2/12 (waarbij M
massa is en L
is de lengte van de staaf), dezelfde staaf die rond een uiteinde roteert, heeft een traagheidsmoment gegeven door I
\u003d ML
2/3.
Vergelijkingen voor Traagheidsmoment}

Het traagheidsmoment van een lichaam hangt dus af van zijn massa M
, zijn straal R
en zijn rotatieas tion.

In sommige gevallen wordt R
aangeduid als d
, voor afstand van de rotatieas, en in andere (zoals met de staaf in de vorige sectie) het is vervangen door lengte, L
. Het symbool I
wordt gebruikt voor het traagheidsmoment en het heeft eenheden van kg m ^2.

Zoals je zou verwachten op basis van wat je tot nu toe hebt geleerd, zijn er veel verschillende vergelijkingen voor traagheidsmoment, en elk verwijst naar een specifieke vorm en een specifieke rotatieas. Op alle traagheidsmomenten verschijnt de term MR
^{2, hoewel er voor verschillende vormen verschillende breuken voor deze term staan en in sommige gevallen meerdere termen bij elkaar kunnen worden opgeteld.}

De component MR
^{2 is het traagheidsmoment voor een puntmassa op een afstand R
van de rotatie-as, en de vergelijking voor een specifiek star lichaam is opgebouwd als een som van puntmassa's, of door een oneindig aantal kleine puntmassa's over het object te integreren.}

Hoewel het in sommige gevallen nuttig kan zijn om het traagheidsmoment van een object af te leiden op basis van een eenvoudige rekenkundige som van puntmassa's of door te integreren, in de praktijk zijn er veel resultaten voor gemeenschappelijke vormen en rotatieassen die u eenvoudig kunt gebruiken zonder eerst af te leiden:

Massieve cilinder (symmetrieas):
I \u003d \\ frac {1} {2} MR ^ 2

Massieve cilinder (centrale diameteras of de diameter van de cirkelvormige dwarsdoorsnede in het midden van de cilinder):
I \u003d \\ frac {1} {4} MR ^ 2 + \\ frac {1} {12} ML ^ 2

Massieve bol (centrale as):
I \u003d \\ frac {2} {5} MR ^ 2

Dunne bolvormige schaal (centrale as) ):
I \u003d \\ frac {2} {3} MR ^ 2

Hoepel (symmetrieas, dwz loodrecht door het midden):
I \u003d MR ^ 2

Hoepel (diameteras, dat wil zeggen over de diameter van de cirkel gevormd door de hoepel):
I \u003d \\ frac {1} {2} MR ^ 2

Staaf (centrale as, loodrecht op de lengte van de staaf):
I \u003d \\ frac {1} {12} ML ^ 2

Staaf (roterend rond einde):
I \u003d \\ frac {1} {3} ML ^ 2 Rotatie-inertie en rotatieas

Begrijpen waarom er zijn verschillende vergelijkingen voor elke rotatie-as is een belangrijke stap om het concept van een traagheidsmoment te begrijpen.

Denk aan een potlood: je kunt het roteren door het in het midden rond te draaien, aan het einde of door het om zijn centrale as te draaien. Omdat de rotatietraagheid van een object afhankelijk is van de verdeling van de massa rond de rotatie-as, is elk van deze situaties anders en vereist een afzonderlijke vergelijking om het te beschrijven.

U krijgt een instinctief begrip van het concept van traagheidsmoment als u hetzelfde argument opschaalt tot een vlaggenmast van 30 voet.

Het helemaal omdraaien zou heel moeilijk zijn - als u het helemaal zou kunnen beheren - terwijl de paal om zijn centrale as draait zou veel gemakkelijker zijn. Dit komt omdat het koppel sterk afhankelijk is van de afstand van de rotatieas en in het voorbeeld van de vlag van de 30-voetvlag, het uiteinde over het uiteinde draaien, omvat elk extreem uiteinde 15 voet van de rotatieas.

Echter , als je het rond de centrale as draait, is alles vrij dicht bij de as. De situatie is vergelijkbaar met het dragen van een zwaar object op armlengte versus het dicht bij uw lichaam houden, of een hendel bedienen vanaf het einde versus dicht bij het steunpunt.

Daarom heeft u een andere vergelijking nodig om beschrijf het traagheidsmoment voor hetzelfde object afhankelijk van de rotatieas. De as die u kiest, is van invloed op hoe ver delen van het lichaam zich van de rotatieas bevinden, ook al blijft de massa van het lichaam hetzelfde.
De vergelijkingen voor het traagheidsmoment gebruiken

De sleutel tot het berekenen van de traagheidsmoment voor een star lichaam is leren de juiste vergelijkingen te gebruiken en toe te passen.

Beschouw het potlood uit het vorige gedeelte, dat over de lengte rond een centraal punt wordt gesponnen. Hoewel het geen perfecte staaf is (de puntige punt breekt bijvoorbeeld deze vorm), kan het als zodanig worden gemodelleerd om te voorkomen dat u een volledig traagheidsmoment voor het object moet doorlopen. >

Dus het object modelleren als een staaf, zou u de volgende vergelijking gebruiken om het traagheidsmoment te vinden, gecombineerd met de totale massa en lengte van het potlood:
I \u003d \\ frac {1} {12} ML ^ 2

Een grotere uitdaging is het vinden van het traagheidsmoment voor samengestelde objecten.

Beschouw bijvoorbeeld twee ballen met elkaar verbonden door een staaf (die we als massaloos zullen behandelen om het probleem te vereenvoudigen). Bal één is 2 kg en bevindt zich op 2 m afstand van de rotatieas, en bal twee is 5 kg in massa en 3 m afstand van de rotatieas.

In dit geval kunt u het traagheidsmoment vinden voor dit samengestelde object door elke bal als een puntmassa te beschouwen en te werken vanuit de basisdefinitie die:
\\ begin {uitgelijnd} I & \u003d m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\\\ & \u003d \\ som _ {\\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \\ end {uitgelijnd}

Met de subscripts maakt u eenvoudig onderscheid tussen verschillende objecten (dwz bal 1 en bal 2). Het object met twee ballen heeft dan:
\\ begin {uitgelijnd} I & \u003d m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\\\ & \u003d 2 \\; \\ text {kg} × (2 \\; \\ text {m}) ^ 2 + 5 \\; \\ text {kg} × (3 \\; \\ text {m}) ^ 2 \\\\ & \u003d 8 \\; \\ text {kg m} ^ 2 + 45 \\; \\ text {kg m} ^ 2 \\\\ & \u003d 53 \\; \\ text {kg m} ^ 2 \\ end {gericht} Moment van inertie en behoud van hoekmoment

Hoekmomentum (de rotatie-analoog voor lineair momentum) wordt gedefinieerd als het product van de rotatietraagheid (dwz het traagheidsmoment, I
) van het object en zijn hoeksnelheid ω
), die wordt gemeten in graden /s of rad /s.

U zult ongetwijfeld bekend zijn met de wet van behoud van lineair momentum, en hoekig momentum wordt ook op dezelfde manier behouden. De vergelijking voor hoekmomentum L
) is:
L \u003d Iω

Nadenken over wat dit in de praktijk betekent, verklaart vele fysische fenomenen, omdat (in afwezigheid van andere krachten), hoe hoger een object rotatietraagheid, hoe lager de hoeksnelheid.

Beschouw een schaatser die met een constante hoeksnelheid ronddraait met uitgestrekte armen, en merk op dat zijn uitgestrekte armen de straal vergroot R
waarover zijn massa wordt verdeeld, wat leidt tot een groter traagheidsmoment dan wanneer zijn armen dicht bij zijn lichaam waren.

Als L
_{1 wordt berekend met uitgestrekte armen, en L
2, nadat zijn armen zijn ingetrokken dezelfde waarde moet hebben (omdat het hoekmoment behouden blijft), wat gebeurt er als hij zijn traagheidsmoment verlaagt door zijn armen in te trekken? Zijn hoeksnelheid ω
neemt toe ter compensatie.}

Katten voeren soortgelijke bewegingen uit om hen te helpen op hun voeten te landen tijdens het vallen.

Door hun benen en staart uit te rekken, vergroten ze hun traagheidsmoment en verminderen de snelheid van hun rotatie, en omgekeerd kunnen ze hun benen intrekken om hun traagheidsmoment te verminderen en hun rotatiesnelheid te verhogen. Ze gebruiken deze twee strategieën - samen met andere aspecten van hun "oprichtingsreflex" - om ervoor te zorgen dat hun voeten eerst landen, en je kunt verschillende fasen van krullen en uitrekken zien in time-lapse-foto's van een kattenlanding.
Moment van inertie en rotatiekinetische energie

Voortzetting van de parallellen tussen lineaire beweging en rotatiebeweging, objecten hebben ook rotatiekinetische energie op dezelfde manier als ze lineaire kinetische energie hebben.

Denk aan een bal die over rolt de grond, zowel roterend om zijn centrale as als lineair vooruit: de totale kinetische energie van de bal is de som van zijn lineaire kinetische energie E
_{k en zijn roterende kinetische energie E
rot. De parallellen tussen deze twee energieën worden weerspiegeld in de vergelijkingen voor beide, herinnerend dat het traagheidsmoment van een object het rotatie-analoog van massa is en zijn hoeksnelheid het rotatie-analoog van lineaire snelheid is v
):
E_k \u003d \\ frac {1} {2} mv ^ 2 E_ {rot} \u003d \\ frac {1} {2} Iω ^ 2}

Je kunt duidelijk zien dat beide vergelijkingen exact dezelfde vorm hebben, met de juiste rotatie-analogen vervangen door de vergelijking van de rotatiekinetische energie.

Om de rotatiekinetische energie te berekenen, moet u natuurlijk de juiste uitdrukking voor het traagheidsmoment voor het object in de ruimte vervangen door I
. Als we de bal beschouwen en het object als een solide bol modelleren, is de vergelijking als volgt:
\\ begin {uitgelijnd} E_ {rot} & \u003d \\ bigg (\\ frac {2} {5} MR ^ 2 \\ bigg ) \\ frac {1} {2} ω ^ 2 \\\\ & \u003d \\ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \\ end {gericht}

De totale kinetische energie ( E
_{tot) is de som hiervan en de kinetische energie van de bal, dus je kunt schrijven:
\\ begin {uitgelijnd} E_ {tot} & \u003d E_k + E_ {rot} \\\\ & \u003d \\ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \\ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \\ end {uitgelijnd}}

Voor een bal van 1 kg die beweegt met een lineaire snelheid van 2 m /s, met een straal van 0,3 m en met een hoeksnelheid van 2π rad /s zou de totale energie zijn:
\\ begin {uitgelijnd} E_ {tot} & \u003d \\ frac {1} {2} 1 \\; \\ text {kg} × (2 \\; \\ text {m /s}) ^ 2 + \\ frac {1} {5} (1 \\; \\ text {kg} × (0.3 \\; \\ text {m}) ^ 2 × (2π \\; \\ text {rad /s}) ^ 2) \\\\ & \u003d 2 \\; \\ text {J} + 0.71 \\; \\ text {J} \\\\ & \u003d 2.71 \\; \\ text {J} \\ end {uitgelijnd}

Afhankelijk van de situatie kan een object alleen lineaire kinetische energie bezitten (bijvoorbeeld een bal die van een hoogte is gevallen zonder daarop te draaien) of alleen rotatiekinetiek energie (een bal die draait maar op zijn plaats blijft).

Vergeet niet dat het totale energie is die behouden blijft. Als een bal tegen een muur wordt getrapt zonder initiële rotatie, en deze terugkaatst met een lagere snelheid maar met een meegedeelde spin, evenals de energie verloren aan geluid en warmte wanneer het contact maakte, is een deel van de initiële kinetische energie overgebracht naar roterende kinetische energie, en dus kan niet zo snel bewegen als het deed voordat het terugkaatste.