science >> Wetenschap >  >> Fysica

Hoe fractalen werken

Deze gedeeltelijke weergave van de Mandelbrot-set, misschien wel 's werelds beroemdste fractal, toont stap vier van een zoomreeks:Het centrale eindpunt van de "zeepaardjesstaart" is ook een Misiurewicz-punt. Wolfgang Beyer/(CC BY-SA 3.0)

Fractals zijn een paradox. Verbazingwekkend eenvoudig, maar oneindig complex. Nieuw, maar ouder dan vuil. Wat zijn fractalen? Waar komen ze vandaan? Waarom zou ik me zorgen maken?

De onconventionele 20e-eeuwse wiskundige Benoit Mandelbrot creëerde de term fractal van het Latijnse woord fractus (wat onregelmatig of gefragmenteerd betekent) in 1975. Deze onregelmatige en gefragmenteerde vormen zijn overal om ons heen. Op hun meest basale, fractals zijn een visuele uitdrukking van een herhalend patroon of formule die eenvoudig begint en steeds complexer wordt.

Een van de eerste toepassingen van fractals ontstond ruim voordat de term zelfs maar werd gebruikt. Lewis Fry Richardson was een Engelse wiskundige die in het begin van de 20e eeuw de lengte van de Engelse kustlijn bestudeerde. Hij redeneerde dat de lengte van een kustlijn afhangt van de lengte van het meetinstrument. Meten met een maatstaf, je krijgt een nummer, maar meet met een meer gedetailleerde liniaal, die meer rekening houdt met de onregelmatigheid van de kustlijn, en je krijgt een groter aantal, enzovoort.

Breng dit tot zijn logische conclusie en je eindigt met een oneindig lange kustlijn met een eindige ruimte, dezelfde paradox naar voren gebracht door Helge von Koch in de Koch Snowflake. Deze fractal houdt in dat je een driehoek neemt en het centrale derde deel van elk segment verandert in een driehoekige bult op een manier die de fractal symmetrisch maakt. Elke hobbel is natuurlijk, langer dan het oorspronkelijke segment, maar bevat nog steeds de eindige ruimte binnenin.

Vreemd, maar in plaats van te convergeren op een bepaald getal, de omtrek beweegt naar oneindig. Mandelbrot zag dit en gebruikte dit voorbeeld om het concept van fractale dimensie te onderzoeken, onderweg bewijzen dat het meten van een kustlijn een oefening in benadering is [bron:NOVA].

Als fractals echt al die tijd bestaan, waarom hebben we er pas de afgelopen 40 jaar over gehoord?

Inhoud
  1. Fractale terminologie
  2. Voordat ze fractals waren
  3. Wiskunde achter de schoonheid
  4. Praktische Fractals

Fractale terminologie

In de Mandelbrot-set, punten die door alle iteraties eindig blijven, worden wit weergegeven; waarden die divergeren naar oneindig worden donkerder weergegeven. Encyclopedie Britannica/Bijdrager/Getty Images

Voordat we meer in detail treden, we moeten wat basisterminologie behandelen die u zal helpen de unieke kwaliteiten te begrijpen die fractals bezitten.

Alle fractals tonen een graad van wat wordt genoemd zelfgelijkenis . Dit betekent dat als je steeds beter naar de details van een fractal kijkt, je kunt een replica van het geheel zien. Een varen is een klassiek voorbeeld. Kijk naar het hele blad. Zie je de takken die uit de hoofdstam komen? Elk van die takken lijkt op het hele blad. Ze lijken op het origineel, alleen op kleinere schaal.

Deze zelf-gelijkende patronen zijn het resultaat van een eenvoudige vergelijking, of wiskundige verklaring. Fractals worden gemaakt door deze vergelijking te herhalen via een feedbacklus in een proces genaamd iteratie , waarbij de resultaten van de ene iteratie de invoerwaarde vormen voor de volgende. Bijvoorbeeld, als je naar de binnenkant van een nautilusschelp kijkt, je zult zien dat elke kamer van de schaal in feite een kopie is van de voorgaande kamer, alleen kleiner als je ze van buiten naar binnen volgt.

Fractals zijn ook recursief, ongeacht de schaal. Ben je ooit de kleedkamer van een winkel binnengegaan en wordt je omringd door spiegels? In voor en tegenspoed, je kijkt naar een oneindig recursief beeld van jezelf.

Eindelijk, een opmerking over geometrie. De meesten van ons zijn opgegroeid met die lengte, breedte en hoogte zijn de drie dimensies, en dat is dat. Fractale geometrie werpt dit concept een curve door onregelmatige vormen in te creëren fractale dimensie ; de fractale dimensie van een vorm is een manier om de complexiteit van die vorm te meten.

Neem dat nou allemaal, en we kunnen duidelijk zien dat a pure fractaal is een geometrische vorm die op zichzelf lijkt door oneindige iteraties in een recursief patroon en door oneindige details. Eenvoudig, Rechtsaf? Maak je geen zorgen, we zullen snel genoeg alle stukjes doornemen.

Voordat ze fractals waren

Katsushika Hokusai gebruikte het fractale concept van zelfgelijkenis in zijn schilderij "The Great Wave Off Kanagawa" aan het begin van de 19e eeuw. Publiek domein

Als de meeste mensen aan fractals denken, ze denken vaak aan de beroemdste van allemaal, de Mandelbrot-verzameling. Vernoemd naar de wiskundige Benoit Mandelbrot, het is praktisch synoniem geworden met het concept van fractals. Maar het is verre van de enige fractal in de stad.

We noemden de varen eerder, die een van de eenvoudige en beperkte fractals van de natuur vertegenwoordigt. Beperkte fractals gaan niet oneindig door; ze vertonen slechts enkele iteraties van congruente vormen. Eenvoudige en beperkte fractals zijn ook niet exact in hun zelfgelijkenis - de blaadjes van een varen kunnen de vorm van het grotere blad niet perfect nabootsen. De spiraal van een zeeschelp en de kristallen van een sneeuwvlok zijn twee andere klassieke voorbeelden van dit type fractal dat in de natuurlijke wereld wordt gevonden. Hoewel niet wiskundig exact, ze hebben nog steeds een fractaal karakter.

Vroege Afrikaanse en Navajo-kunstenaars merkten de schoonheid van deze recursieve patronen op en probeerden ze in veel aspecten van hun dagelijks leven na te bootsen. inclusief kunst en stedenbouw [bronnen:Eglash, Balen]. Zoals in de natuur, het aantal recursieve iteraties van elk patroon werd beperkt door de schaal van het materiaal waarmee ze werkten.

Leonardo da Vinci zag dit patroon ook in boomtakken, toen boomtakken groeiden en zich splitsten in meer takken [bron:Da Vinci]. in 1820, Japanse kunstenaar Katsushika Hokusai creëerde "The Great Wave Off Kanagawa, " een kleurrijke weergave van een grote oceaangolf waarbij de top afbreekt in kleinere en kleinere (zelfvergelijkende) golven [bron:NOVA].

Wiskundigen kwamen uiteindelijk ook in actie. Gaston Julia kwam in het begin van de 20e eeuw op het idee om een ​​feedbackloop te gebruiken om een ​​herhalend patroon te produceren. Georg Cantor experimenteerde in de jaren 1880 met eigenschappen van recursieve en zelfvergelijkende sets, en in 1904 publiceerde Helge von Koch het concept van een oneindige kromme, met ongeveer dezelfde techniek, maar met een ononderbroken lijn. En uiteraard, we hebben al vermeld dat Lewis Richardson het idee van Koch onderzocht terwijl hij Engelse kustlijnen probeerde te meten.

Deze verkenningen van dergelijke complexe wiskunde waren meestal theoretisch, echter. Er ontbrak in die tijd een machine die in staat was om het grommende werk van zoveel wiskundige berekeningen in een redelijke tijd uit te voeren om erachter te komen waar deze ideeën echt toe leidden. Naarmate de kracht van computers evolueerde, dat gold ook voor het vermogen van wiskundigen om deze theorieën te testen.

In de volgende sectie, we zullen kijken naar de wiskunde achter fractale geometrie.

Wiskunde achter de schoonheid

Een Julia verzameling fractal is de grens van de ingevulde verzameling (de verzameling "uitzonderlijke punten"). Er zijn twee soorten Julia-verzamelingen:verbonden verzamelingen (Fatou-verzameling) en Cantor-verzamelingen (Fatou-stof). Encyclopedie Britannica/UIG Via Getty Images

We denken dat bergen en andere objecten in de echte wereld drie dimensies hebben. In Euclidische meetkunde kennen we waarden toe aan de lengte van een object, hoogte en breedte, en we berekenen attributen zoals oppervlakte, volume en omtrek op basis van die waarden. Maar de meeste objecten zijn niet uniform; bergen, bijvoorbeeld, gekartelde randen hebben. Fractale geometrie stelt ons in staat om de complexiteit van een vorm nauwkeuriger te definiëren en te meten door te kwantificeren hoe ruw het oppervlak is. De gekartelde randen van die berg kunnen wiskundig worden uitgedrukt:voer de fractale dimensie in, die per definitie groter is dan of gelijk is aan de Euclidische (of topologische) dimensie van een object (D => D t ).

Een relatief eenvoudige manier om dit te meten wordt de box-counting (of Minkowski-Bouligand Dimension) methode genoemd. Het proberen, plaats een fractal op een stuk rasterpapier. Hoe groter de fractal en hoe gedetailleerder het rasterpapier, hoe nauwkeuriger de berekening van de afmetingen zal zijn.

D =log N / log (1/u)

In deze formule is NS is de dimensie, N is het aantal rastervakken dat een deel van de fractal bevat, en H is het aantal rasterblokken dat de fractals op het ruitjespapier overspannen. Echter, hoewel deze methode eenvoudig en benaderbaar is, het is niet altijd de meest nauwkeurige.

Een van de meer standaardmethoden om fractals te meten, is het gebruik van de Hausdorff-dimensie, dat is D =log N / log s, waar N is het aantal delen dat een fractal uit elk segment produceert, en s is de grootte van elk nieuw onderdeel in vergelijking met het oorspronkelijke segment. Het ziet er eenvoudig uit, maar afhankelijk van de fractal, dit kan vrij snel ingewikkeld worden.

Je kunt een oneindige verscheidenheid aan fractals produceren door een paar van de beginvoorwaarden van een vergelijking te veranderen; dit is waar de chaostheorie om de hoek komt kijken. chaostheorie klinkt als iets volkomen onvoorspelbaars, maar fractale geometrie gaat over het vinden van de volgorde in wat aanvankelijk chaotisch lijkt. Begin met het tellen van de vele manieren waarop u die initiële vergelijkingsvoorwaarden kunt wijzigen en u zult snel begrijpen waarom er een oneindig aantal fractals is.

Met de Menger Sponge maak je de vloer echter niet schoon, dus wat heb je aan fractals eigenlijk?

Beroemde fractals en hun typen

Sommige fractals beginnen met een basislijnsegment of -structuur en voegen daaraan toe. Op deze manier wordt een drakencurve gemaakt. Anderen zijn reductief, beginnend als een vaste vorm en er herhaaldelijk van aftrekken. De Sierpinski-driehoek en de Menger-spons zitten beide in die groep. Meer chaotische fractals vormen een derde groep, gemaakt met behulp van relatief eenvoudige formules en ze miljoenen keren grafisch weergegeven op een Cartesisch raster of een complex vlak. De Mandelbrot-set is de rockster in deze groep, maar Strange Attractors zijn ook best cool. Deze afbeeldingen zijn allemaal uitdrukkingen van wiskundige formules.

Praktische Fractals

Nadat Mandelbrot in 1975 zijn baanbrekende werk over fractals publiceerde, een van de eerste praktische toepassingen ontstond in 1978 toen Loren Carpenter een aantal door de computer gegenereerde bergen wilde maken. Met behulp van fractals die begonnen met driehoeken, hij creëerde een verbazingwekkend realistische bergketen [bron:NOVA].

In de jaren negentig raakte Nathan Cohen geïnspireerd door de Koch Snowflake om een ​​compactere radioantenne te maken met niets meer dan draad en een tang. Vandaag, antennes in mobiele telefoons gebruiken fractals zoals de Menger Sponge, de box-fractal en ruimtevullende fractals als een manier om de receptieve kracht in een minimale hoeveelheid ruimte te maximaliseren [bron:Cohen].

Hoewel we geen tijd hebben om in te gaan op alle toepassingen die fractals tegenwoordig voor ons hebben, een paar andere voorbeelden zijn biologie, medicijn, het modelleren van stroomgebieden, geofysica, en meterologie met wolkenvorming en luchtstromen [bron:NOVA].

Dit artikel is bedoeld om u op weg te helpen in de verbluffende wereld van fractale geometrie. Als je een wiskundige neiging hebt, wil je deze wereld misschien nog veel meer verkennen met behulp van de bronnen die op de volgende pagina worden vermeld. Lezers die minder wiskundig geneigd zijn, willen misschien het oneindige potentieel van de kunst en schoonheid van deze ongelooflijke en complexe inspiratiebron verkennen.

Hoe maak je je eigen fractal

Pak een blanco vel papier, en trek een rechte lijn van het midden naar de onderkant. Trek nu twee lijnen, half zo lang als de eerste, uitkomend in een hoek van 45 graden vanaf de bovenkant van de eerste regel, een Y vormen. Doe dat opnieuw voor elke vork in de Y. Dat is de eerste iteratie in je fractal. Blijf doen met elke vork. Bij de derde of vierde iteratie begin je te beseffen waarom fractale geometrie niet werd ontwikkeld vóór het computertijdperk. Gefeliciteerd - je hebt zojuist een fractal-luifel gemaakt! Meng het door de eerste regels een beetje (of veel) aan te passen en kijk wat er gebeurt.

Oorspronkelijk gepubliceerd:26 april, 2011

Veelgestelde vragen over fractalen

Wat zijn fractale patronen?
Chaotische vergelijkingen die complexe patronen vormen die toenemen met vergroting, staan ​​​​bekend als fractals.
Wat is de meest bekende fractal?
De Mandelbrot-set, geïntroduceerd door John Briggs, staat bekend als de beroemdste fractal in de moderne wiskunde, vooral vanwege zijn angstaanjagende schoonheid.
Waar vind je fractals?
De wereld zit vol met ingewikkelde patronen die fractals worden genoemd. Van de kleine, kleine patronen van schelpen tot het magnifieke wonder van sterrenstelsels, ze zijn vrij gemakkelijk in de natuur te vinden.
Hoe worden fractals in het echte leven gebruikt?
Fractals worden gebruikt om de complexiteit van verschillende structuren te detecteren en vast te leggen. Ze worden ook gebruikt om bacteriële patronen en andere biologische processen te analyseren.

Veel meer informatie

gerelateerde artikelen

  • Hoe mozaïekwerk werkt
  • Hoe MC Escher werkte
  • Kunnen onze hersenen de vierde dimensie zien?

bronnen

  • Balen, Judy. "Denken in de doos:oneindigheid binnen het eindige." Surface Design Journal. Pagina's 50-53. najaar 2010.
  • Cohen, Natan. "Fractale antennes, Deel 1." Communications Quarterly. Zomer 1995.
  • Eglash, Ron. "Afrikaanse Fractals:moderne computers en inheems ontwerp." Rutgers Univ. Druk op. 1999.
  • Valkenier, KJ "De geometrie van fractal-sets." Cambridge Tracts in de wiskunde, 85. Cambridge, 1985.
  • Fractal Stichting. "Online Fractal Cursus." (17 april, 2011) http://fractalfoundation.org/resources/lessons/
  • Mandelbrot, Benoït. "De fractale geometrie van de natuur." vrijman. 1982.
  • Mandelbrot, Benoït. "Fractalen:vorm, Kans, en dimensie" Freeman. 1977.
  • Mandelbrot, Benoït. "Hoe lang is de kustlijn van Engeland ?:statistische zelfgelijkenis en fractionele dimensie" Wetenschap, Nieuwe series. Vol.156, nr.3775. 5 mei, 1967.
  • NOVA. "Op jacht naar de verborgen dimensie." PBS, 2008. Oorspronkelijk uitgezonden op 28 oktober, 2008. (17 april, 2011) http://www.pbs.org/wgbh/nova/physics/hunting-hidden-dimension.html
  • Turkoois, Donald. "Fractals en chaos in geologie en geofysica." Cambridge, 1997.
  • Weisstein, Eric W. "Dragon Curve." MathWereld. (22 april 2011) http://mathworld.wolfram.com/DragonCurve.html
  • Weisstein, Eric W. "Koch Sneeuwvlok." MathWereld. (22 april 2011) http://mathworld.wolfram.com/KochSnowflake.html
  • Weisstein, Eric W. "Menger Spons." MathWereld. (22 april 2011) http://mathworld.wolfram.com/MengerSponge.html
  • Weisstein, Eric W. "Sierpiński zeef." MathWereld. (22 april 2011) http://mathworld.wolfram.com/SierpinskiSieve.html
  • Weisstein, Eric W. "Vreemde Aantrekker." MathWereld. (22 april 2011) http://mathworld.wolfram.com/StrangeAttractor.html

Meer >

Meer >

Hoofdlijnen

  1. Voelen mannen en vrouwen pijn anders?
  2. Is schizofrenie samen met onze hersenen geëvolueerd?
  3. Wat betekent ##### in Excel?
  4. Leven gelukkige mensen langer?
  5. Een diercel-diagram maken
  6. Het verschil tussen prokaryote en eukaryotische genexpressie
  7. Wat is de functie van een Tris-buffer in DNA-extractie?
  8. Hoe HeLa-cellen werken
  9. Wat is het Baader-Meinhof-fenomeen?

Wetenschap