science >> Wetenschap > >> Fysica

Hoe mozaïekwerk werkt

Een legpuzzel biedt een eenvoudig beeld van een mozaïekpatroon dat we vaak tegenkomen. Hemera/Thinkstock

We bestuderen wiskunde vanwege zijn schoonheid, zijn elegantie en zijn vermogen om de patronen te codificeren die in het weefsel van het universum zijn geweven. Binnen zijn cijfers en formules, de seculieren nemen orde waar en de religieuzen vangen verre echo's van de taal van de schepping. Wiskunde bereikt het sublieme; soms, zoals bij vlakvullingen, het stijgt tot kunst.

mozaïekpatroon -- gapless mozaïeken van gedefinieerde vormen -- behoren tot een ras van verhoudingen, constanten en patronen die terugkeren in de architectuur, onthullen zich onder microscopen en stralen uit elke honingraat en zonnebloem. Kies een willekeurig aantal vergelijkingen in de meetkunde, natuurkunde, waarschijnlijkheid en statistieken, zelfs geomorfologie en chaostheorie, en je zult zien dat pi (π) zich als een hoeksteen bevindt. Euler's getal (e) steekt herhaaldelijk de kop op in calculus, radioactief verval berekeningen, samengestelde renteformules en bepaalde oneven gevallen van waarschijnlijkheid. De gulden snede (φ) vormde de basis van kunst, ontwerp, architectuur en muziek lang voordat mensen ontdekten dat het ook de natuurlijke arrangementen van bladeren en stengels definieerde, botten, slagaders en zonnebloemen, of kwam overeen met de klokcyclus van hersengolven [bronnen:Padovan, Weiss, Roopun]. Het heeft zelfs een relatie met een andere vaste patroonfavoriet, de Fibonacci-reeks, die zijn eigen unieke tegelprogressie produceert.

Wetenschap, natuur en kunst borrelen ook over van vlakvullingen. Zoals , e en , voorbeelden van deze zich herhalende patronen omringen ons elke dag, van alledaagse trottoirs, achtergronden, legpuzzels en tegelvloeren tot de grootse kunst van de Nederlandse graficus M.C. Escher, of het adembenemende tegelwerk van het 14e-eeuwse Moorse fort, het Alhambra, in Granada, Spanje. In feite, het woord "tessellation" is afgeleid van tessella , de verkleinvorm van het Latijnse woord tessera , Een individu, typisch vierkant, tegel in een mozaïek. Tessera op zijn beurt kan voortkomen uit het Griekse woord tessares , vier betekent.

Wiskunde, wetenschap en natuur zijn afhankelijk van bruikbare patronen zoals deze, wat hun betekenis ook is. Voorbij de transcendente schoonheid van een mozaïek of gravure, tessellations vinden toepassingen in de wiskunde, astronomie, biologie, plantkunde, ecologie, computer beelden, materiaalwetenschap en een verscheidenheid aan simulaties, inclusief wegennet.

In dit artikel, we laten je zien wat deze wiskundige mozaïeken zijn, welke soorten symmetrie ze kunnen bezitten en welke speciale vlakvulling wiskundigen en wetenschappers in hun gereedschapskist met probleemoplossende trucs bewaren.

Eerst, laten we eens kijken hoe we een mozaïekpatroon kunnen bouwen.

Vormgeven, of kunt u dat alstublieft herhalen?

Tessellations lopen uiteen van eenvoudig tot verbijsterend. De eenvoudigste bestaan uit een enkele vorm die een tweedimensionaal vlak bedekt zonder gaten achter te laten. Vanaf daar, alles is mogelijk, van complexe patronen met meerdere onregelmatige vormen tot driedimensionale vaste stoffen die bij elkaar passen om ruimte of zelfs hogere dimensies te vullen.

Drie regelmatige geometrische vormen vormen een mozaïek met zichzelf:gelijkzijdige driehoeken, vierkanten en zeshoeken. Andere vierzijdige vormen doen het ook, inclusief rechthoeken en ruiten (ruiten). Door verlenging, niet-gelijkzijdige driehoeken betegelen naadloos als ze rug aan rug worden geplaatst, parallellogrammen maken. Gek genoeg, zeshoeken van elke vorm tessellate als hun overstaande zijden gelijk zijn. Daarom, elke vierzijdige vorm kan een naadloos mozaïek vormen als deze rug aan rug wordt geplaatst, een zeshoek maken.

Je kunt een vlak ook vlak maken door regelmatige veelhoeken te combineren, of door regelmatige en semi-regelmatige veelhoeken in bepaalde arrangementen te vermengen. Polygonen zijn tweedimensionale vormen die bestaan uit lijnsegmenten, zoals driehoeken en rechthoeken. Regelmatige veelhoeken zijn speciale gevallen van veelhoeken waarin alle zijden en alle hoeken gelijk zijn. Gelijkzijdige driehoeken en vierkanten zijn goede voorbeelden van regelmatige veelhoeken.

Alle vlakvullingen, zelfs welgevormde en complexe zoals M.C. van Escher, begin met een vorm die zich herhaalt zonder gaten. De truc is om de vorm te veranderen - zeg, een ruit - zodat het nog steeds goed bij elkaar past. Een eenvoudige aanpak houdt in dat je een vorm uit de ene kant snijdt en op een andere plakt. Dit levert een vorm op die bij zichzelf past en gemakkelijk te stapelen is. Hoe meer kanten je verandert, hoe interessanter het patroon wordt.

Als je je avontuurlijker voelt, probeer een golvende lijn aan één kant te tekenen, en vervolgens dezelfde regel naar de andere kant kopiëren. Deze aanpak vereist mogelijk wat aanpassingen om de stukken goed in elkaar te laten grijpen. Bijvoorbeeld, als je veelhoek een oneven aantal zijden heeft, misschien wilt u de overgebleven zijde in twee delen en vervolgens spiegelbeeldvormen aan beide zijden van de splitsing tekenen. Dit creëert een kant die met zichzelf vergrendelt.

Beproef uw geluk met twee of meer vormen die mozaïeken. Je kunt dit geometrisch doen, of vul gewoon de pagina met elke gewenste vorm, en stel je dan een beeld voor dat in de negatieve ruimte past. Een verwante methode omvat het vullen van een bekende mozaïekvorm met kleinere vormen. Er zijn zelfs fractal mozaïeken -- patronen van vormen die goed bij elkaar passen en op meerdere schalen gelijk zijn.

Maak je geen zorgen als je eerste resultaten een beetje onzinnig lijken. Het kostte Escher jaren om deze gekke mozaïeken onder de knie te krijgen, en zelfs hij had combinaties die niet altijd logisch waren.

Nu we de basis hebben gelegd, laten we eens kijken naar enkele van de speciale vlakvullingen die onderzoekers gebruiken om lastige theoretische en toegepaste problemen op te lossen.

MC Escher

Geen vlaktalent overtreft de Nederlandse graficus M.C. Escher. een lithograaf, houthakker en graveur, Escher raakte geïnteresseerd in de sublieme vormen nadat hij als jonge man het Alhambra bezocht [bron:University of St. Andrews].

Hoewel niet de eerste die mozaïekpatronen van geometrische vormen naar organische en fantastische vormen verplaatste, Escher vestigde zich als zijn beoefenaar bij uitstek. Zijn fantasievolle, oogverblindende en vaak onmogelijke kunstwerken blijven vandaag de dag alom populair.

Lees verder