Stel je voor dat je een kanon bemand, met als doel de muren van een vijandelijk kasteel neer te halen zodat je leger kan binnenstormen en de overwinning claimen. Als je weet hoe snel de bal beweegt als hij het kanon verlaat, en je weet hoe ver de muren zijn, welke lanceerhoek heb je nodig om het kanon af te vuren om met succes de muren te raken?

Dit is een voorbeeld van een projectielbewegingsprobleem, en je kunt dit en vele vergelijkbare problemen oplossen met behulp van de constante versnellingsvergelijkingen van kinematica en een aantal basisalgebra.

Projectielbeweging
is hoe fysici tweedimensionale beweging beschrijven waar de enige versnelling die het object in kwestie ervaart de constante neerwaartse versnelling als gevolg van de zwaartekracht is.

Op het aardoppervlak is de constante versnelling a
gelijk aan g
\u003d 9,8 m /s ^{2, en een object dat projectielbeweging ondergaat bevindt zich in vrije val
met dit als de enige bron van versnelling. In de meeste gevallen zal het de weg van een parabool volgen, dus de beweging zal zowel een horizontale als verticale component hebben. Hoewel het in de praktijk een (beperkt) effect zou hebben, negeren gelukkig de meeste projectielbewegingsproblemen van de middelbare schoolfysica het effect van luchtweerstand.}

Je kunt projectielbewegingsproblemen oplossen met de waarde g
en wat andere basisinformatie over de situatie bij de hand, zoals de beginsnelheid van het projectiel en de richting waarin het zich verplaatst. Leren om deze problemen op te lossen is essentieel voor het behalen van de meeste inleidende natuurkundelessen, en het laat je ook kennis maken met de belangrijkste concepten en technieken die je nodig hebt in latere cursussen.
Projectiel Bewegingsvergelijkingen

De vergelijkingen voor projectiel beweging zijn de constante versnellingsvergelijkingen uit de kinematica, omdat de versnelling van de zwaartekracht de enige versnellingsbron is die u moet overwegen. De vier hoofdvergelijkingen die u nodig hebt om een probleem met projectielbewegingen op te lossen, zijn:
v \u003d v_0 + at \\\\ s \u003d \\ bigg (\\ frac {v + v_0} {2} \\ bigg) t \\\\ s \u003d v_0t + \\ frac {1} {2} om ^ 2 \\\\ v ^ 2 \u003d v_0 ^ 2 + 2as

Hier staat v
voor snelheid, v
_{0 is de beginsnelheid, a
is versnelling (die gelijk is aan de neerwaartse versnelling van g
in alle projectielbewegingsproblemen), s is de verplaatsing (van de beginpositie) en zoals altijd hebt u tijd, t
.}

Deze vergelijkingen zijn technisch gezien slechts voor één dimensie en kunnen in werkelijkheid worden vertegenwoordigd door vectorgrootheden (inclusief snelheid v
, beginsnelheid v
_{0 enzovoort), maar in de praktijk kunt u deze versies gewoon afzonderlijk gebruiken, eenmaal in de x
-richting en eenmaal in de y
-richting (en als je ooit een driedimensionaal probleem hebt gehad, ook in de z
-richting).}

Het is belangrijk om te onthouden dat deze alleen worden gebruikt voor constante versnelling, waardoor ze pe perfect voor het beschrijven van situaties waarin de invloed van de zwaartekracht de enige versnelling is, maar niet geschikt voor veel situaties in de praktijk waar extra krachten moeten worden overwogen.

Voor basissituaties is dit alles wat u moet beschrijven beweging van een object, maar indien nodig kunt u andere factoren opnemen, zoals de hoogte vanaf waar het projectiel werd gelanceerd of zelfs oplossen voor het hoogste punt van het projectiel op zijn pad.
Projectielbewegingsproblemen oplossen

Nu u de vier versies van de projectielbewegingsformule hebt gezien die u moet gebruiken om problemen op te lossen, kunt u beginnen nadenken over de strategie die u gebruikt om een projectielbewegingsprobleem op te lossen.

De basisbenadering is om het probleem in twee delen te splitsen: een voor de horizontale beweging en een voor de verticale beweging. Dit wordt technisch de horizontale component en verticale component genoemd, en elk heeft een overeenkomstige set grootheden, zoals de horizontale snelheid, verticale snelheid, horizontale verplaatsing, verticale verplaatsing enzovoort.

Met deze aanpak kunt u gebruik de kinematische vergelijkingen en merk op dat tijd t
hetzelfde is voor zowel horizontale als verticale componenten, maar dingen zoals de beginsnelheid hebben verschillende componenten voor de initiële verticale snelheid en de initiële horizontale snelheid.

Het cruciale ding om te begrijpen is dat voor tweedimensionale beweging elke
bewegingshoek kan worden opgesplitst in een horizontale component en een verticale component, maar wanneer u dit doet, is er een horizontale versie van de vergelijking in kwestie en één verticale versie.

Het verwaarlozen van de effecten van luchtweerstand vereenvoudigt enorm projectielbewegingsproblemen omdat de horizontale richting nooit een versnelling heeft in een projectielbeweging (gratis val) probleem, omdat de invloed van de zwaartekracht alleen verticaal werkt (dwz naar het aardoppervlak).

Dit betekent dat de horizontale snelheidscomponent slechts een constante snelheid is, en de beweging stopt alleen wanneer de zwaartekracht het projectiel tot op grondniveau. Dit kan worden gebruikt om de vluchttijd te bepalen, omdat het volledig afhankelijk is van de y
-richtingsbeweging en volledig kan worden uitgewerkt op basis van de verticale verplaatsing (dwz de tijd t
wanneer de verticale verplaatsing nul is, geeft u de tijd van de vlucht aan.

[diagrammen en voorbeelden invoegen]
Trigonometrie in projectielbewegingsproblemen

Als het probleem in kwestie u een lanceerhoek geeft en een beginsnelheid, moet je trigonometrie gebruiken om de horizontale en verticale snelheidscomponenten te vinden. Als u dit eenmaal hebt gedaan, kunt u de methoden in de vorige sectie gebruiken om het probleem daadwerkelijk op te lossen.

In wezen maakt u een rechthoekige driehoek met de hypotenusa schuin op de starthoek ( θ
) en de grootte van de snelheid als de lengte, en dan is de aangrenzende zijde de horizontale component van de snelheid en de tegenovergestelde zijde is de verticale snelheid.

Teken de rechthoekige driehoek zoals aangegeven en u zult zien dat u de horizontale en verticale componenten vindt met behulp van de trigonometrische identiteiten:
\\ text {cos} \\; θ \u003d \\ frac {\\ text {aangrenzend}} {\\ text {hypotenuse}} \\ text {sin} \\; θ \u003d \\ frac {\\ text {tegenover}} {\\ text {hypotenuse}}

Dus deze kunnen opnieuw worden gerangschikt (en met tegenovergestelde \u003d v
_{y en aangrenzend \u003d v
x, dwz respectievelijk de verticale snelheidscomponent en de horizontale snelheidscomponenten en hypotenuse \u003d v
0, de beginsnelheid) om te geven:
v_x \u003d v_0 cos (θ) \\\\ v_y \u003d v_0 sin (θ)}

[diagram invoegen]

Dit is alle trigonometrie die u moet doen om problemen met projectielbewegingen aan te pakken: de starthoek aansluiten op de vergelijking, de sinus- en cosinusfuncties op uw rekenmachine gebruiken en het resultaat vermenigvuldigen met de beginsnelheid van het projectiel.

Dus om een voorbeeld van dit te doen, met een beginsnelheid van 20 m /s en een starthoek van 60 graden, de componenten zijn:
\\ begin {uitgelijnd} v_x & \u003d 20 \\; \\ text {m /s} × \\ cos (60) \\\\ & \u003d 10 \\; \\ text {m /s } \\\\ v_y & \u003d 20 \\; \\ text {m /s} × \\ sin (60) \\\\ & \u003d 17.32 \\; \\ text {m /s} \\ end {uitgelijnd} Voorbeeld projectiel Beweging Probleem: een exploderend vuurwerk

Imag In een vuurwerk is een lont ontworpen zodat het explodeert op het hoogste punt van zijn traject en het wordt gelanceerd met een beginsnelheid van 60 m /s onder een hoek van 70 graden met de horizontale lijn.

Hoe zou u berekenen op welke hoogte h
het explodeert? En wat zou de tijd vanaf de lancering zijn wanneer deze explodeert?

Dit is een van de vele problemen met de maximale hoogte van een projectiel, en de truc om dit op te lossen, is dat op de maximale hoogte de < em> y
-component van de snelheid is even 0 m /s. Door deze waarde in te voeren voor v
_{y en de meest geschikte kinematische vergelijkingen te kiezen, kunt u dit en elk soortgelijk probleem gemakkelijk aanpakken.}

Kijk eerst naar de kinematische vergelijkingen , deze springt eruit (met subscripts toegevoegd om aan te geven dat we in verticale richting werken):
v_y ^ 2 \u003d v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y

Deze vergelijking is ideaal omdat je de versnelling al kent ( a
_{y \u003d - g
), de beginsnelheid en de starthoek (zodat u de verticale component v
y0 kunt berekenen) . Omdat we op zoek zijn naar de waarde van s
y (dwz de hoogte h
) wanneer v
y \u003d 0, kunnen we vervang nul door de laatste verticale snelheidscomponent en rangschik opnieuw voor s
y:
0 \u003d v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y −2a_ys_y \u003d v_ {0y} ^ 2 s_y \u003d \\ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}}

Omdat het logisch is om de opwaartse richting y
te noemen, en omdat de versnelling door zwaartekracht g
naar beneden is gericht (dwz in de richting - y
), we kunnen a
_{y wijzigen voor - g
. Als we ten slotte s
y de hoogte h
noemen, kunnen we schrijven:
h \u003d \\ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}}

Dus het enige dat u hoeft uit te werken om het probleem op te lossen, is de verticale component van de beginsnelheid, wat u kunt doen met behulp van de trigonometrische benadering uit de vorige sectie. Dus met de informatie van de vraag (60 m /s en 70 graden tot de horizontale lancering), geeft dit:
\\ begin {uitgelijnd} v_ {0y} & \u003d 60 \\; \\ text {m /s} × \\ sin (70) \\\\ & \u003d 56.38 \\; \\ text {m /s} \\ end {uitgelijnd}

Nu kunt u de maximale hoogte oplossen:
\\ begin {uitgelijnd} h & \u003d \\ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\\\ & \u003d \\ frac {(56.38 \\; \\ text {m /s}) ^ 2} {2 × 9.8 \\; \\ text {m /s} ^ 2} \\\\ & \u003d 162.19 \\ text {m} \\ end {uitgelijnd}

Dus het vuurwerk zal op ongeveer 162 meter van de grond exploderen.
Het voorbeeld voortzetten: Tijd van vlucht en afgelegde afstand

Na het oplossen van de basisprincipes van het projectielbewegingsprobleem puur gebaseerd op de verticale beweging, kan de rest van het probleem eenvoudig worden opgelost. Allereerst kan de tijd vanaf de lancering dat de lont explodeert worden gevonden met behulp van een van de andere constante versnellingsvergelijkingen. Kijkend naar de opties, de volgende uitdrukking:
s_y \u003d \\ bigg (\\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \\ bigg) t \\\\

heeft de tijd t
, dat is wat je wilt weten; de verplaatsing, die je kent voor het maximale punt van de vlucht; en de snelheid op het moment van de maximale hoogte (waarvan we weten dat deze nul is). Op basis hiervan kan de vergelijking opnieuw worden gerangschikt om een uitdrukking voor de vluchttijd te geven:
s_y \u003d \\ bigg (\\ frac {v_ {0y}} {2} \\ bigg) t \\\\ t \u003d \\ frac {2s_y} {v_ {0y}}

Dus het invoegen van de waarden en het oplossen van t
geeft:
\\ begin {uitgelijnd} t & \u003d \\ frac {2 × 162.19 \\; \\ text {m}} {56.38 \\; \\ text {m /s}} \\\\ & \u003d 5.75 \\; \\ text {s} \\ end {align}

Dus het vuurwerk explodeert na 5,75 seconden na lancering.

Eindelijk kunt u eenvoudig bepalen de horizontale afgelegde afstand op basis van de eerste vergelijking, die (in de horizontale richting) aangeeft:
v_x \u003d v_ {0x} + a_xt

Merk echter op dat er geen versnelling is in de x
-richting, dit is eenvoudig:
v_x \u003d v_ {0x}

Dit betekent dat de snelheid in de richting x
hetzelfde is tijdens de reis van het vuurwerk. Aangezien v
\u003d d
/ t
, waarbij d
de afgelegde afstand is, is het gemakkelijk te zien dat d
\u003d vt
, en dus in dit geval (met s
_{x \u003d d
):
s_x \u003d v_ {0x} t}

U kunt dus v
_{0x vervangen door de goniometrische uitdrukking van eerder, de waarden invoeren en het volgende oplossen:
\\ begin {uitgelijnd} s_x & \u003d v_0 \\ cos (θ) t \\\\ & \u003d 60 \\; \\ text {m /s} × \\ cos (70) × 5.75 \\; \\ text {s} \\\\ & \u003d 118 \\; \\ text {m} \\ end {align}}

Dus het zal reizen ongeveer 118 m vóór de explosie.
Extra projectiel Bewegingsprobleem: The Dud Firework

Voor een aanvullend probleem om aan te werken, stel je het vuurwerk uit het vorige voorbeeld voor (beginsnelheid van 60 m /s gelanceerd bij 70 graden horizontaal) explodeerde niet op de top van de parabool en landt in plaats daarvan onontploft op de grond. Kun je in dit geval de totale vluchttijd berekenen? Hoe ver weg van de lanceerplaats in de horizontale richting zal het landen, of met andere woorden, wat is het bereik van het projectiel?

Dit probleem werkt in principe op dezelfde manier, waar de verticale componenten van snelheid en verplaatsing zijn de belangrijkste dingen waarmee u rekening moet houden om de vluchttijd te bepalen, en van daaruit kunt u het bereik bepalen. In plaats van de oplossing in detail te doorlopen, kunt u dit zelf oplossen op basis van het vorige voorbeeld.

Er zijn formules voor het bereik van een projectiel, die u kunt opzoeken of afleiden uit de constante versnellingsvergelijkingen, maar dit is niet echt nodig omdat je de maximale hoogte van het projectiel al weet, en vanaf dit punt is het gewoon in vrije val onder invloed van de zwaartekracht.

Dit betekent dat je de tijd kunt bepalen die het vuurwerk nodig heeft om te vallen terug naar de grond en tel dit op bij de vluchttijd tot de maximale hoogte om de totale vliegtijd te bepalen. Vanaf dat moment is het hetzelfde proces waarbij de constante snelheid in de horizontale richting wordt gebruikt naast de vluchttijd om het bereik te bepalen.

Laat zien dat de vluchttijd 11,5 seconden is en het bereik 236 m. dat je de verticale component van de snelheid moet berekenen op het punt waar het de grond raakt als tussenstap.