Integratie van functies is een van de kerntoepassingen van calculus. Soms is dit eenvoudig, zoals in:

F (x) \u003d ∫ (x ^{3 + 8) dx}

In een relatief ingewikkeld voorbeeld van dit type kunt u een versie van de basisformule voor het integreren van onbepaalde integralen:

∫ (x ^{n + A) dx \u003d x (n + 1) /(n + 1) + An + C,}

waar A en C constanten zijn.

Dus voor dit voorbeeld

∫ x ^{3 + 8 \u003d x 4/4 + 8x + C.
Integratie van vierkantswortelfuncties}

Op het eerste gezicht is de integratie van een vierkantswortelfunctie lastig. U kunt bijvoorbeeld worden gestimuleerd door:

F (x) \u003d ∫ √ [(x ^{3) + 2x - 7] dx}

Maar u kunt een vierkantswortel als een exponent, 1/2:

√ x ^{3 \u003d x 3 (1/2) \u003d x (3/2)}

De integraal wordt daarom :

∫ (x ^{3/2 + 2x - 7) dx}

waarop u de gebruikelijke formule van hierboven kunt toepassen:

\u003d x ^{(5/2) /(5/2) + 2 (x 2/2) - 7x}

\u003d (2/5) x ^{(5/2) + x 2 - 7x
Integratie van complexere vierkantswortelfuncties}

Soms heeft u meer dan één term onder het radicale teken, zoals in dit voorbeeld:

F (x) \u003d ∫ [(x + 1) /√ (x - 3)] dx

U kunt u-substitutie gebruiken om door te gaan. Hier stelt u u in op de hoeveelheid in de noemer:

u \u003d √ (x - 3)

Los dit op voor x door beide zijden te kwadrateren en af te trekken:

u ^{2 \u003d x - 3}

x \u003d u ^{2 + 3}

Hiermee kunt u dx in termen van u krijgen door de afgeleide van x te nemen:

dx \u003d (2u) du

Vervanging door de oorspronkelijke integraal geeft

F (x) \u003d ∫ (u ^{2 + 3 + 1) /udu}

\u003d ∫ [(2u ^{3 + 6u + 2u) /u] du}

\u003d ∫ (2u ^{2 + 8) du}

Nu kunt u dit integreren gebruik de basisformule en druk u uit in x:

∫ (2u ^{2 + 8) du \u003d (2/3) u 3 + 8u + C}

\u003d (2/3) [√ (x - 3)] ^{3 + 8 [√ (x - 3)] + C}

\u003d (2/3) (x - 3) ^{(3/2) + 8 (x - 3) (1/2) + C}