Alle wiskundestudenten en veel bètastudenten komen op een bepaald moment tijdens hun studie polynomen tegen, maar gelukkig zijn ze gemakkelijk in de omgang zodra je de basis leert. De belangrijkste bewerkingen die u met veeltermuitdrukkingen moet doen, zijn optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, en hoewel delen complex kan zijn, zult u meestal in staat zijn om de basis gemakkelijk te hanteren.
Polynomen: definitie en voorbeelden

Polynomiaal beschrijft een algebraïsche uitdrukking met een of meer termen waarbij een variabele (of meer dan een) betrokken is, met exponenten en mogelijk constanten. Ze kunnen geen deling door een variabele bevatten, mogen geen negatieve of fractionele exponenten hebben en moeten een eindig aantal termen hebben.

Dit voorbeeld toont een polynoom:

x

<sup>3 + 2 x
2 - 9 x
- 4</sup>

En dit toont een andere:

xy

<sup>2 - 3 x
+ y</sup>

Er zijn veel manieren om te classificeren veeltermen, inclusief per graad (de som van de exponenten op de hoogste machtsterm, bijvoorbeeld 3 in het eerste voorbeeld) en door het aantal termen dat ze bevatten, zoals monomialen (één term), binomials (twee termijnen) en trinomials (drie termen).
Polynomen toevoegen en aftrekken

Polynomen toevoegen en aftrekken hangt af van het combineren van "soortgelijke" termen. Een soortgelijke term is er een met dezelfde variabelen en exponenten als de andere, maar het getal waarmee ze worden vermenigvuldigd (de coëfficiënt) kan verschillen. Bijvoorbeeld, x
^{2 en 4 x
2 zijn soortgelijke termen omdat ze dezelfde variabele en exponent hebben, en 2 xy
4 en 6 xy
4 zijn ook soortgelijke termen. x
2, x
3, x
2 y
2 en < em> y
2 zijn geen soortgelijke termen, omdat elke reeks verschillende combinaties van variabelen en exponenten bevat.}

Voeg polynomen toe door soortgelijke termen op dezelfde manier te combineren als met andere algebraïsche termen. Kijk bijvoorbeeld naar het probleem:

( x
<sup>3 + 3 x
) + (9 x
3 + 2 x
+ y
)</sup>

Verzamel soortgelijke termen om te krijgen:

( x
<sup>3 + 9 x
3) + (3 x
+ 2 x
) + y</sup>

En dan evalueren door eenvoudigweg de coëfficiënten bij elkaar te voegen en te combineren in een enkele term:

10 x
<sup>3 + 5 x
+ y</sup>

Merk op dat u niets kunt doen met y
omdat het geen soortgelijke term heeft.

Aftrekken werkt op dezelfde manier:

(4 x
^{4 + 3 y
2 + 6 y
) - (2 x
4 + 2 y
2 + y
)}

Merk eerst op dat alle termen in de rechterhaak worden afgetrokken van die in de linkerhaak, dus schrijf het op als :

4 x
<sup>4 + 3 y
2 + 6 y
- 2 x
4 - 2 y
2− y</sup>

Combineer soortgelijke termen en evalueer om te krijgen:

(4 x
4 - 2 x
<sup>4) + (3 y
2 - 2 y
2) + (6 y
- y
)</sup>

\u003d 2 x
^{4 + y
2 + 5 y}

Voor een probleem als dit:

(4 xy
+ x
<sup>2) - (6 xy
- 3 x
2)</sup>

Merk op dat het minteken wordt toegepast op de hele uitdrukking in de rechterhaak, dus de twee negatieve tekens voor 3_x_ ^{2 worden een toevoegingsteken:}

(4 xy
+ x
<sup>2) - (6 xy
- 3 x
2) \u003d 4 xy
+ x
2 - 6 xy
+ 3 x
2</sup>

Bereken vervolgens zoals eerder.
Polynomiale uitdrukkingen vermenigvuldigen

Vermenigvuldig polynome uitdrukkingen met behulp van de verdelende eigenschap van vermenigvuldiging. Kortom, vermenigvuldig elke term in de eerste polynoom met elke term in de tweede. Bekijk dit eenvoudige voorbeeld:

4 x
× (2 x
^{2 + y
)}

U los dit op met de distributieve eigenschap, dus:

4 x
× (2 x
^{2 + y
) \u003d (4 < em> x
× 2 x
2) + (4 x
× y
)}

\u003d 8 x
^{3 + 4 xy}

Los ingewikkelder problemen op dezelfde manier op:

(2 y
^{3 + 3 x
) × (5 x
2 + 2 x
)}

\u003d (2 y
^{3 × (5 x
2 + 2 x
)) + (3 x
× (5 x
2 + 2 x
))}

\u003d (2 y
^{3 × 5 x
2) + (2 y
3 × 2 x
) + (3 x
× 5 x
2) + (3 x
× 2 x
)}

\u003d 10 y
<sup>3 x
2 + 4 < em> y
3 x
+ 15 x
3 + 6 x
2</sup>

Deze problemen kunnen ingewikkeld worden voor grotere groepen, maar het basisproces is nog steeds hetzelfde.
Polynomiaal verdelen E xpressions

Het delen van polynoomuitdrukkingen duurt langer, maar u kunt het in stappen aanpakken. Bekijk de uitdrukking:

( x
<sup>2 - 3 x
- 10) /( x
+ 2)</sup>

Schrijf eerst de uitdrukking als een lange deling, met de deler links en het dividend rechts:

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

Deel de eerste termijn in het dividend door de eerste termijn in de deler en plaats het resultaat op de regel boven de divisie. In dit geval x
^{2 ÷ x
\u003d x
, dus:}

x

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

Vermenigvuldig dit resultaat met de hele deler, dus in dit geval ( x
+ 2) × x
\u003d x
^{2 + 2 < em> x
. Zet dit resultaat onder de deling:}

x

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

Trek het resultaat op de nieuwe regel af van de termen er direct boven (merk op dat u technisch gezien het teken wijzigt, dus als u een negatief resultaat had, zou u het in plaats daarvan toevoegen), en dit op een regel eronder zetten. Verplaats ook de laatste termijn van het oorspronkelijke dividend.

x

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

Herhaal nu het proces met de deler en het nieuwe polynoom op de onderste regel. Deel dus de eerste term van de deler ( x
) door de eerste termijn van het dividend (−5 x
) en plaats dit hierboven:

x

- 5

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

Vermenigvuldig dit resultaat (−5 x
÷ x
\u003d −5) met de oorspronkelijke deler (dus (< em> x
+ 2) × −5 \u003d −5 x
−10) en plaats het resultaat op een nieuwe onderste regel:

x

- 5

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

−5 x
- 10

Trek vervolgens de onderste regel af van de volgende naar boven (dus verander in dit geval het teken en voeg toe) en plaats het resultaat op een nieuwe onderste regel:

x

- 5

x

+ 2) x
<sup>2 - 3 x
- 10</sup>

x
^{2 + 2 x}

0 - 5 x
- 10

−5 x
- 10

0 0

Aangezien er nu een rij nullen onderaan staat, is het proces voltooid. Als er niet-nul termen over waren, zou u het proces opnieuw herhalen. Het resultaat staat op de bovenste regel, dus:

( x
<sup>2 - 3 x
- 10) /( x
+ 2) \u003d x
- 5</sup>

Deze verdeling en enkele anderen kunnen eenvoudiger worden opgelost als u de veelterm in het dividend kunt meewegen.