Als u twee punten kent die op een bepaalde exponentiële curve vallen, kunt u de curve definiëren door de algemene exponentiële functie op te lossen met behulp van die punten. In de praktijk betekent dit het vervangen van de punten voor y en x in de vergelijking y \u003d ab ^{x. De procedure is eenvoudiger als de x-waarde voor een van de punten 0 is, wat betekent dat het punt op de y-as ligt. Als geen van beide punten een x-waarde nul heeft, is het proces voor het oplossen van x en y iets ingewikkelder.
Waarom exponentiële functies belangrijk zijn}

Veel belangrijke systemen volgen exponentiële groei- en vervalpatronen. Het aantal bacteriën in een kolonie neemt bijvoorbeeld meestal exponentieel toe en de omgevingsstraling in de atmosfeer na een nucleaire gebeurtenis neemt meestal exponentieel af. Door gegevens te nemen en een curve te plotten, zijn wetenschappers in een betere positie om voorspellingen te doen.
Van een paar punten naar een grafiek

Elk punt op een tweedimensionale grafiek kan worden weergegeven met twee getallen, die meestal worden geschreven in de vorm (x, y), waarbij x de horizontale afstand vanaf de oorsprong definieert en y de verticale afstand vertegenwoordigt. Het punt (2, 3) is bijvoorbeeld twee eenheden rechts van de y-as en drie eenheden boven de x-as. Aan de andere kant is het punt (-2, -3) twee eenheden links van de y-as. en drie eenheden onder de x-as.

Als u twee punten heeft, (x _{1, y 1) en (x 2, y 2), u kan de exponentiële functie definiëren die door deze punten gaat door ze te substitueren in de vergelijking y \u003d ab ^{x en a en b op te lossen. Over het algemeen moet u dit paar vergelijkingen oplossen:}}

y _{1 \u003d ab ^{x1 en y 2 \u003d ab x2,.}}

In in deze vorm lijkt de wiskunde een beetje ingewikkeld, maar het ziet er minder uit dus nadat je een paar voorbeelden hebt gedaan.
Eén punt op de X-as

Als een van de x-waarden - zeg x _{1 - is 0, de bewerking wordt heel eenvoudig. Het oplossen van de vergelijking voor de punten (0, 2) en (2, 4) levert bijvoorbeeld op:}

2 \u003d ab ^{0 en 4 \u003d ab 2. Omdat we weten dat b 0 \u003d 1, wordt de eerste vergelijking 2 \u003d a. Vervanging van a in de tweede vergelijking levert 4 \u003d 2b 2 op, wat we vereenvoudigen tot b 2 \u003d 2, of b \u003d vierkantswortel van 2, wat gelijk is aan ongeveer 1.41. De bepalende functie is dan y \u003d 2 (1.41) x.
Geen van beide punten op de X-as}

Als geen van beide x-waarden nul is, is het oplossen van het paar vergelijkingen iets omslachtiger. Henochmath leidt ons door een eenvoudig voorbeeld om deze procedure te verduidelijken. In zijn voorbeeld koos hij het paar punten (2, 3) en (4, 27). Dit levert het volgende paar vergelijkingen op:

27 \u003d ab ⁴

3 \u003d ab ²

Als u de eerste vergelijking door de tweede deelt, je krijgt

9 \u003d b ²

dus b \u003d 3. Het is mogelijk dat b ook gelijk is aan -3, maar neem in dit geval aan dat het positief is.

U kunt deze waarde vervangen door b in beide vergelijkingen om a te krijgen. Het is gemakkelijker om de tweede vergelijking te gebruiken, dus:

3 \u003d a (3) ^{2 die kan worden vereenvoudigd tot 3 \u003d a9, a \u003d 3/9 of 1/3.}

De vergelijking die door deze punten gaat kan worden geschreven als y \u003d 1/3 (3) ^{x.
Een voorbeeld uit de echte wereld}

Sinds 1910 is de groei van de menselijke bevolking exponentieel, en door een groeicurve te plotten, zijn wetenschappers in een betere positie om de toekomst te voorspellen en te plannen. In 1910 was de wereldbevolking 1,75 miljard en in 2010 was dit 6,87 miljard. Uitgaande van 1910 als uitgangspunt, geeft dit het paar punten (0, 1,75) en (100, 6,87). Omdat de x-waarde van het eerste punt nul is, kunnen we gemakkelijk a.

1,75 \u003d ab ^{0 of a \u003d 1,75 vinden. Door deze waarde, samen met die van het tweede punt, in de algemene exponentiële vergelijking te steken, wordt 6,87 \u003d 1,75b 100 geproduceerd, wat de waarde van b geeft als de honderdste wortel van 6,87 /1,75 of 3,93. De vergelijking wordt dus y \u003d 1,75 (honderdste wortel van 3,93) x. Hoewel het meer dan een rekenregel vereist om het te doen, kunnen wetenschappers deze vergelijking gebruiken om toekomstige bevolkingsaantallen te projecteren om politici in het heden te helpen bij het maken van passend beleid.}