Velen van ons zouden met plezier een papieren kraanvogel kunnen vouwen, maar weinigen hebben er vertrouwen in een vergelijking als x . op te lossen ³ – 3 x ² – x + 3 =0, om een ​​waarde te vinden voor x .

Beide activiteiten delen echter vergelijkbare vaardigheden:precisie, het vermogen om een ​​algoritme te volgen, een intuïtie voor vorm en een zoektocht naar patroon en symmetrie.

Ik ben een wiskundige wiens hobby origami is, en ik vind het heerlijk om mensen kennis te laten maken met wiskundige ideeën door middel van ambachten zoals het vouwen van papier. Elk stuk origami bevat wiskundige ideeën en vaardigheden en kan je meenemen op een fascinerende, creatieve reis.

De 'bouwstenen' van origami-modellen

Als meetkundige (wiskundige die meetkunde bestudeert), is mijn favoriete techniek modulaire origami. Dat is waar je verschillende stukjes gevouwen papier als "bouwstenen" gebruikt om een ​​grotere, vaak symmetrische structuur te creëren.

De bouwstenen, eenheden genoemd, zijn meestal eenvoudig te vouwen; de wiskundige vaardigheid komt in het samenstellen van de grotere structuur en het ontdekken van de patronen erin.

Veel modulaire origami-patronen, hoewel ze verschillende eenheden kunnen gebruiken, hebben een vergelijkbare methode om eenheden te combineren tot een grotere creatie.

Dus voor een beetje moeite word je beloond met een groot aantal modellen om te verkennen.

Mijn website Maths Craft Australia bevat een reeks modulaire origami-patronen, evenals patronen voor andere ambachten zoals haken, breien en naaien.

Ze vereisen geen wiskundige achtergrond, maar nemen je mee in een aantal fascinerende wiskundige richtingen.

3D-vormen bouwen van kleinere 2D-eenheden

In de wiskunde worden de vormen met de meeste symmetrie de Platonische lichamen genoemd. Ze zijn vernoemd naar de oude Griekse filosoof Plato (hoewel ze vrijwel zeker ouder zijn dan hem en zijn ontdekt in oude beschavingen over de hele wereld).

De Platonische lichamen zijn 3D-vormen gemaakt van regelmatige 2D-vormen (ook bekend als regelmatige veelhoeken) waarbij elke zijde en hoek identiek is:gelijkzijdige driehoeken, vierkanten, vijfhoeken.

Hoewel er oneindig veel regelmatige veelhoeken zijn, zijn er, verrassend genoeg, slechts vijf Platonische lichamen:

• de tetraëder (vier driehoeken)
• de kubus (zes vierkanten)
• de octaëder (acht driehoeken)
• de dodecaëder (12 vijfhoeken) en
• de icosaëder (20 driehoeken).

Om platonische lichamen in origami te bouwen, kun je het beste beginnen met het beheersen van wat bekend staat als de "sonobe-eenheid".

Voer de sonobe-eenheid in

Een sonobe-eenheid (soms de sonobe-module genoemd) lijkt een beetje op een parallellogram met twee flappen die erachter zijn gevouwen.

Ik heb instructies voor het maken van een sonobe-eenheid op mijn website en er zijn tal van video's online, zoals deze:

Sonobe-units zijn snel en eenvoudig op te vouwen en kunnen in elkaar worden gepast om prachtige, intrigerende 3D-vormen zoals deze te creëren:

Je hebt zes sonobe-eenheden nodig om een ​​kubus te maken zoals de geel-blauw-groene kubus die hierboven is afgebeeld, 12 om een ​​octaëder te maken (de rood-roze-paarse) en 30 om een ​​icosaëder (de gouden) te maken. (Interessant is dat het niet mogelijk is om een ​​tetraëder en dodecaëder te bouwen van sonobe-eenheden).

Ik heb geschreven instructies voor het bouwen van de kubus op mijn website, en als je even snel online zoekt, vind je instructies voor de grotere modellen.

In het wiskundige konijnenhol

Als je eenmaal de basisstructuur van elke 3D-vorm onder de knie hebt, zul je misschien (zoals anderen hebben gedaan) nadenken over diepere wiskundige vragen.

Kun je de sonobe-eenheden zo rangschikken dat twee eenheden van dezelfde kleur elkaar nooit raken, als je maar drie kleuren hebt?

Zijn grotere symmetrische vormen mogelijk? (Antwoord:ja!)

Zijn er relaties tussen de verschillende 3D-vormen? (De icosaëder is bijvoorbeeld in feite opgebouwd uit driehoeken, maar kun je de vijfhoeken zien die erin op de loer liggen? Of de driehoeken in de dodecaëder?)

Een schijnbaar onschuldige vraag kan gemakkelijk leiden tot een wiskundig konijnenhol.

Vragen over kleuren leiden je naar de wiskunde van grafieken en netwerken (en grote vragen die eeuwenlang onopgelost bleven).

Vragen over grotere modellen leiden je naar de Archimedische lichamen en de Johnson-lichamen. Deze 3D-vormen hebben veel symmetrie, maar niet zoveel als de Platonische lichamen.

Dan, voor een werkelijk verbijsterende reis, zou je kunnen landen op het concept van hoger-dimensionale symmetrische vormen.

Of misschien leiden uw vragen u in de tegenovergestelde richting.

In plaats van origami te gebruiken om nieuwe ideeën in de wiskunde te onderzoeken, hebben sommige onderzoekers wiskundige kaders gebruikt om nieuwe ideeën in origami te onderzoeken.

Oude problemen op nieuwe manieren oplossen

Misschien wel de beroemdste wiskundige origamikunstenaar is de in de VS gevestigde voormalige NASA-natuurkundige Robert Lang, die computerprogramma's ontwerpt die vouwpatronen genereren voor fantastisch gecompliceerde modellen.

Zijn modellen zijn onder meer gesegmenteerde vogelspinnen en mieren, herten met een gedraaid gewei en zwevende, gevederde vogels.

Robert Lang en anderen hebben ook vouwpatronen gemaakt voor gebruik in nieuwe technische contexten, zoals opvouwbare telescooplenzen, airbags en zonnepanelen.

Mijn laatste voorbeeld van de kracht van origami gaat terug op de derdegraadsvergelijking die ik aan het begin noemde:

x ³ – 3 x ² – x + 3 =0

Kubieke vergelijkingen hebben betrekking op enkele "onmogelijke" wiskundige problemen, zoals het in drieën delen van een hoek (een willekeurige hoek splitsen in drie gelijke hoeken). Of het verdubbelen van een kubus (dat is het vinden van een kubus met het dubbele volume van een bepaalde kubus).

Het is bekend dat deze problemen niet kunnen worden opgelost met de klassieke methoden van een liniaal (liniaal zonder de markeringen) en kompas.

In 1980 liet de Japanse wiskundige Hisashi Abe echter zien hoe je al deze problemen met origami kunt oplossen.

Ik ben opgewonden om te zien waar wiskunde en origami elkaar in de toekomst zullen kruisen. Pak vandaag wat papier, maak een paar modellen en begin je eigen reis van wiskundige verkenning.