Als je van wiskundige eigenaardigheden houdt, ben je dol op de driehoek van Pascal. Vernoemd naar de 17e-eeuwse Franse wiskundige Blaise Pascal, en vele eeuwen bekend bij de Chinezen vóór Pascal als de Yanghui-driehoek, is het eigenlijk meer dan een rariteit. Het is een specifieke rangschikking van getallen die ongelooflijk nuttig is in algebra en waarschijnlijkheidstheorie. Sommige van zijn kenmerken zijn meer verbijsterend en interessant dan nuttig. Ze helpen de mysterieuze harmonie van de wereld te illustreren zoals beschreven door cijfers en wiskunde.

TL; DR (te lang; las niet)

Pascal ontleende de driehoek door uit te breiden (x + y) ^ n voor het verhogen van de waarden van n en het rangschikken van de coëfficiënten van de termen in een driehoekig patroon. Het heeft veel interessante en nuttige eigenschappen.

De driehoek van Pascal construeren

De regel voor het construeren van de driehoek van Pascal kan niet eenvoudiger. Begin met de nummer één bovenaan en vorm de tweede rij eronder met een paar. Om de derde en alle volgende rijen te construeren, begint u er een te plaatsen aan het begin en aan het einde. Leid elk cijfer tussen dit paar door de twee cijfers er direct boven toe te voegen. De derde rij is dus 1, 2, 1, de vierde rij is 1, 3, 3, 1, de vijfde rij is 1, 4, 6, 4, 1 enzovoort. Als elk cijfer een vak inneemt dat even groot is als alle andere vakjes, vormt het arrangement een perfecte gelijkzijdige driehoek die aan twee zijden wordt begrensd door enen waarvan de basis gelijk is aan het aantal rijen. De rijen zijn symmetrisch omdat ze hetzelfde achterwaarts en voorwaarts lezen.

 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 
 Pascal's driehoek toepassen in algebra 
 
 Pascal ontdekte de driehoek, die eeuwenlang bekend was bij Perzische en Chinese filosofen, toen hij de algebraïsche expansie van de uitdrukking bestudeerde (x + y)  n. Wanneer u deze uitdrukking uitbreidt tot de n-de macht, komen de coëfficiënten van de termen in de uitbreiding overeen met de getallen in de negende rij van de driehoek. Bijvoorbeeld (x + y)  0 = 1; (x + y)  1 = x + y; (x + y)  2 = x  2 + 2xy + y  2 enzovoort. Om deze reden noemen wiskundigen de rangschikking soms de driehoek van binomiale coëfficiënten. Voor grote aantallen n is het duidelijker om de uitbreidingscoëfficiënten van de driehoek te lezen dan om ze te berekenen. 
 
 Pascal's Triangle in Waarschijnlijkheidstheorie 
 
 Stel dat je een munt een bepaald aantal tijden. Hoeveel combinaties van kop en munt kun je krijgen? Je kunt het achterhalen door te kijken naar de rij in de driehoek van Pascal die overeenkomt met het aantal keren dat je de munt gooit en alle getallen in die rij optelt. Als u bijvoorbeeld de munt 3 keer gooit, zijn er 1 + 3 + 3 + 1 = 8 mogelijkheden. De kans om drie keer achtereen hetzelfde resultaat te behalen is dus 1/8. 
 
 Op dezelfde manier kun je de driehoek van Pascal gebruiken om te achterhalen op hoeveel manieren je objecten of keuzes uit een gegeven set kunt combineren. Stel dat je 5 ballen hebt en je wilt weten op hoeveel manieren je er twee kunt kiezen. Ga gewoon naar de vijfde rij en kijk naar het tweede item om het antwoord te vinden, dat is 5. 
 
 Interessante patronen 
 
 Pascal's driehoek bevat een aantal interessante patronen. Dit zijn er enkele: 
 
 
 De som van de getallen in elke rij is het dubbele van de som in de rij hierboven. 
 
 
 
 Als u een van beide zijden leest, is de eerste rij allemaal, de tweede rij zijn de telnummers, de derde is de driehoekige getallen, de vierde de tetraëdrische getallen enzovoort. 
 
 
 
 Elke rij vormt de overeenkomstige exponent van 11 na het uitvoeren van een eenvoudige wijziging. 
 
 
 
 U kunt de Fibonacci-reeks afleiden uit het driehoekige patroon. 
 
 
 
 Als u alle oneven getallen en even getallen in verschillende kleuren kleurt, krijgt u een visueel patroon dat bekend staat als de Sierpinski-driehoek.