science >> Wetenschap > >> anders

Wat zijn wederkerige identiteiten?

In de wiskunde is een omgekeerde van een getal het getal dat, vermenigvuldigd met het originele getal, 1 oplevert. De reciproke waarde voor de variabele x is bijvoorbeeld 1 /x, omdat x • 1 /x = x /x = 1. In dit voorbeeld is 1 /x de wederzijdse identiteit van x en omgekeerd. In trigonometrie kan elk van de hoeken van 90 graden in een rechthoekige driehoek worden gedefinieerd door verhoudingen die sinus, cosinus en tangens worden genoemd. Door het concept van wederzijdse identiteiten toe te passen, definiëren wiskundigen drie verhoudingen. Hun namen zijn cosecant, secant en cotangent. Cosecant is de reciproke identiteit van sinus, secant die van cosinus en cotangens die van tangens.

Hoe wederkerige identiteiten bepalen

Overweeg een hoek θ, die een van de twee niet-90- is graden hoeken in een rechthoekige driehoek. Als de lengte van de zijde van de driehoek tegenover de hoek "b" is, is de lengte van de zijde naast de hoek en tegenover de hypotenusa "a" en de lengte van de hypotenusa "r", kunnen we de drie definiëren primaire trigonometrische verhoudingen in termen van deze lengtes.

sine θ = sin θ = b /r

cosine θ = cos θ = a /r

raaklijn θ = tan θ = b /a

De wederzijdse identiteit van zonde θ moet gelijk zijn aan 1 /zonde θ, want dat is het getal dat, vermenigvuldigd met sin θ, produceert 1. Hetzelfde geldt voor cos θ en tan θ. Wiskundigen geven deze reciprocals respectievelijk de namen cosecant, secant en cotangent. Per definitie:

cosecant θ = csc θ = 1 /sin θ

secant θ = sec θ = 1 /cos θ

cotangent θ = wieg θ = 1 /tan θ

U kunt deze wederzijdse identiteiten definiëren in termen van de lengten van de zijden van de rechthoekige driehoek als volgt:

< li> csc θ = r /b

sec θ = r /a

wieg θ = a /b

De volgende relaties zijn waar voor elke hoek θ:

zonde θ • csc θ = 1

cos θ • sec θ = 1

tan θ • cot θ = 1

Two Other Trigonometric Identities

Als je de sinus en cosinus van een hoek kent, kun je de tangens afleiden. Dit is waar omdat sin θ = b /r en cos θ = a /r, dus sin θ /cos θ = (b /r • r /a) = b /a. Aangezien dit de definitie van tan θ is, volgt de volgende identiteit, die bekend staat als de quotiëntidentiteit:

sin θ /cos θ = tan θ

cos θ /sin θ = wieg θ

De Pythagorese identiteit volgt uit het feit dat voor elke rechthoekige driehoek met zijden a en b en hypotenusa r het volgende geldt: een ^{2 + b ^{2 = r ^{2. Herschikken van termen en het definiëren van verhoudingen in termen van sinus en cosinus, je komt tot de volgende expressie:}}}

sin ^{2 θ + cos ^{2 θ = 1}}

Twee andere belangrijke relaties volgen wanneer u wederzijdse identiteiten invoert voor sinus en cosinus in de bovenstaande uitdrukking:

tan ^{2 θ + 1 = sec ^{2 θ}}

cot < sup> 2 θ + 1 = csc ^{2 θ}

Standaardvorm van een lijn

Wat is Pascals Triangle?

Hoofdlijnen

Wetenschap