In de wiskunde is een functie een regel die elk element in een set, het domein genoemd, relateert aan exact één element in een andere reeks, het bereik genoemd. Op een x-y-as wordt het domein weergegeven op de x-as (horizontale as) en het domein op de y-as (verticale as). Een regel die één element in het domein relateert aan meer dan één element in het bereik, is geen functie. Deze vereiste betekent dat als u een functie in een grafiek weergeeft, u op meer dan één plaats geen verticale lijn kunt vinden die de grafiek kruist.

TL; DR (te lang; niet gelezen)

Een relatie is alleen een functie als deze elk element in zijn domein relateert aan slechts één element in het bereik. Wanneer u een functie berekent, kruist een verticale lijn deze op slechts één punt.

Wiskundige weergave

Wiskundigen vertegenwoordigen functies gewoonlijk met de letters "f (x)", hoewel andere letters werken net zo goed. Je leest de letters als "f van x." Als u ervoor kiest om de functie weer te geven als g (y), zou u het als "g van y." De vergelijking voor de functie definieert de regel waarmee de invoerwaarde x wordt omgezet in een ander getal. Er zijn oneindig veel manieren om dit te doen. Hier zijn drie voorbeelden:

f (x) = 2x

g (y) = y ^{2 + 2y + 1}

p (m) = 1 /√ (m - 3)

Het domein bepalen

De reeks cijfers waarvoor de functie "werkt" is het domein. Dit kunnen alle getallen zijn, of het kan een specifieke reeks getallen zijn. Het domein kan ook alle nummers zijn behalve één of twee waarvoor de functie niet werkt. Het domein voor de functie f (x) = 1 /(2-x) is bijvoorbeeld alle getallen behalve 2, omdat wanneer u twee invoert, de noemer 0 is en het resultaat ongedefinieerd is. Het domein voor 1 /(4 - x ^{2), aan de andere kant, is alle getallen met uitzondering van +2 en -2 omdat het kwadraat van beide cijfers 4 is.}

Je kunt ook identificeren het domein van een functie door naar de grafiek te kijken. Begin uiterst links en beweeg naar rechts door verticale lijnen door de x-as te tekenen. Het domein is alle waarden van x waarvoor de lijn de grafiek kruist.

Wanneer is een relatie geen functie?

Per definitie verbindt een functie elk element in het domein met slechts één element in het bereik. Dit betekent dat elke verticale lijn die u door de x-as trekt, de functie op slechts één punt kan snijden. Dit werkt voor alle lineaire vergelijkingen en vergelijkingen met hoger vermogen waarbij alleen de x-term wordt verhoogd naar een exponent. Het werkt niet altijd voor vergelijkingen waarin zowel de x- als de y-termen worden verhoogd tot een macht. Bijvoorbeeld, x ^{2 + y 2 = a 2 definieert een cirkel. Een verticale lijn kan een cirkel op meer dan één punt snijden, dus deze vergelijking is geen functie.}

Over het algemeen is een relatie f (x) = y een functie alleen als voor elke waarde van x die je plugt erin, je krijgt maar één waarde voor y. Soms is de enige manier om te weten of een bepaalde relatie een functie is of niet, om verschillende waarden voor x uit te proberen om te zien of ze unieke waarden voor y opleveren.

Voorbeelden: definiëren de volgende vergelijkingen functies?

y = 2x +1 Dit is de vergelijking van een rechte lijn met helling 2 en y-snijpunt 1, dus het IS een functie.

y2 = x + 1 Laat x = 3. De waarde voor y kan dan ± 2 zijn, dus dit IS GEEN functie.

y ^{3 = x 2 Welke waarde we ook instellen voor x, we krijgen maar één waarde voor y, dus dit IS een functie.}

y ^{2 = x 2 Omdat y = ± √x 2 is dit GEEN functie.}