Wat als ingenieurs een betere jet zouden kunnen ontwerpen met wiskundige vergelijkingen die de behoefte aan experimenteel testen drastisch verminderen? Of wat als weersvoorspellingsmodellen details zouden kunnen voorspellen in de beweging van warmte van de oceaan naar een orkaan? Deze dingen zijn nu onmogelijk, maar zou in de toekomst mogelijk kunnen zijn met een vollediger wiskundig begrip van de turbulentiewetten.

University of Maryland wiskundigen Jacob Bedrossian, Samuel Punshon-Smith en Alex Blumenthal hebben het eerste rigoureuze wiskundige bewijs ontwikkeld dat een fundamentele wet van turbulentie verklaart. Het bewijs van de wet van Batchelor zal worden gepresenteerd op een bijeenkomst van de Society for Industrial and Applied Mathematics op 12 december, 2019.

Hoewel alle natuurkundige wetten kunnen worden beschreven met wiskundige vergelijkingen, velen worden niet ondersteund door gedetailleerde wiskundige bewijzen die hun onderliggende principes verklaren. Een gebied van de natuurkunde dat als te uitdagend wordt beschouwd om uit te leggen met rigoureuze wiskunde, is turbulentie. Gezien in oceaanbranding, golvende wolken en het kielzog achter een snel rijdend voertuig, turbulentie is de chaotische beweging van vloeistoffen (inclusief lucht en water) die schijnbaar willekeurige veranderingen in druk en snelheid omvat.

Turbulentie is de reden dat de Navier-Stokes vergelijkingen, die beschrijven hoe vloeistoffen stromen, zijn zo moeilijk op te lossen dat er een beloning van een miljoen dollar is voor iedereen die ze wiskundig kan bewijzen. Om de vloeistofstroom te begrijpen, wetenschappers moeten eerst turbulentie begrijpen.

"Het moet mogelijk zijn om naar een fysiek systeem te kijken en wiskundig te begrijpen of een bepaalde fysieke wet waar is, " zei Jacob Bedrossian, een professor in de wiskunde aan de UMD en een co-auteur van het bewijs. "Wij geloven dat ons bewijs de basis vormt om te begrijpen waarom de wet van Batchelor, een belangrijke wet van turbulentie, is waar op een manier die tot nu toe nog geen theoretisch natuurkundig werk heeft gedaan. Dit werk zou kunnen helpen bij het verduidelijken van enkele van de variaties die worden gezien in turbulentie-experimenten en het voorspellen van de instellingen waar de wet van Batchelor van toepassing is en waar niet."

Sinds de introductie in 1959, natuurkundigen hebben gedebatteerd over de geldigheid en reikwijdte van de wet van Batchelor, wat helpt verklaren hoe chemische concentraties en temperatuurschommelingen zich in een vloeistof verdelen. Bijvoorbeeld, Door room door de koffie te roeren ontstaat er een grote werveling met kleine wervelingen die er vanaf vertakken en zelfs kleinere die er vanaf vertakken. Terwijl de room zich vermengt, de wervelingen worden kleiner en het detailniveau verandert op elke schaal. De wet van Batchelor voorspelt de details van die wervelingen op verschillende schalen.

De wet speelt een rol bij zaken als het mengen van chemicaliën in een oplossing, rivierwater dat zich vermengt met zout water als het in de oceaan stroomt en warm Gulfstream-water dat zich vermengt met koeler water als het naar het noorden stroomt. Door de jaren heen, er zijn veel belangrijke bijdragen geleverd om deze wet beter te begrijpen, waaronder werk bij UMD door Distinguished University Professors Thomas Antonsen en Edward Ott. Echter, een volledig wiskundig bewijs van de wet van Batchelor is ongrijpbaar gebleven.

"Vóór het werk van professor Bedrossian en zijn co-auteurs, De wet van Batchelor was een vermoeden, " zei Vladimir Sverak, een professor in de wiskunde aan de Universiteit van Minnesota die niet bij het werk betrokken was. "Het vermoeden werd ondersteund door enkele gegevens uit experimenten, en men zou kunnen speculeren waarom een ​​dergelijke wet zou moeten gelden. Een wiskundig bewijs van de wet kan worden beschouwd als een ideale consistentiecontrole. Het geeft ons ook een beter begrip van wat er werkelijk in de vloeistof gebeurt, en dit kan leiden tot verdere vooruitgang."

"We wisten niet zeker of dit kon, " zei Bedrossian, die ook een gezamenlijke aanstelling heeft in UMD's Centre for Scientific Computation and Mathematical Modeling. "De universele wetten van turbulentie werden als te complex beschouwd om wiskundig aan te pakken. Maar we waren in staat om het probleem op te lossen door expertise uit meerdere velden te combineren."

Een expert in partiële differentiaalvergelijkingen, Bedrossian bracht twee UMD-postdoctorale onderzoekers binnen die experts zijn op drie andere gebieden om hem te helpen het probleem op te lossen. Samuel Punshon-Smith (Ph.D. '17, toegepaste wiskunde en statistiek, en wetenschappelijke berekeningen), nu de Prager Assistant Professor aan de Brown University, is een expert in waarschijnlijkheid. Alex Blumenthal is een expert in dynamische systemen en ergodische theorie, een tak van de wiskunde die wat algemeen bekend staat als chaostheorie omvat. Het team vertegenwoordigde vier verschillende gebieden van wiskundige expertise die zelden in deze mate op elkaar inwerken. Ze waren allemaal essentieel om het probleem op te lossen.

"De manier waarop het probleem is benaderd is inderdaad creatief en innovatief, "Sverak zei. "Soms kan de bewijsmethode zelfs belangrijker zijn dan het bewijs zelf. Het is waarschijnlijk dat ideeën uit de artikelen van professor Bedrossian en zijn co-auteurs zeer nuttig zullen zijn in toekomstig onderzoek."

Het nieuwe niveau van samenwerking dat het team bij deze kwestie heeft gebracht, vormt de basis voor het ontwikkelen van wiskundige bewijzen om andere onbewezen wetten van turbulentie te verklaren.

"Als dit bewijs alles is wat we bereiken, Ik denk dat we iets hebben bereikt, "Zei Bedrossian. "Maar ik heb goede hoop dat dit een warming-up is en dat dit een deur opent om te zeggen 'Ja, we kunnen universaliteitswetten van turbulentie bewijzen en ze vallen niet buiten het domein van de wiskunde.' Nu we een veel beter begrip hebben van het gebruik van wiskunde om deze vragen te bestuderen, we werken aan het bouwen van de wiskundige hulpmiddelen die nodig zijn om meer van deze wetten te bestuderen."

Het begrijpen van de onderliggende fysieke principes achter meer turbulentiewetten zou uiteindelijk ingenieurs en natuurkundigen kunnen helpen bij het ontwerpen van betere voertuigen, windturbines en soortgelijke technologieën of bij het maken van betere weer- en klimaatvoorspellingen.