Door Chris Deziel, bijgewerkt op 30 augustus 2022

Dutko/iStock/GettyImages

Logaritmen kunnen een verder eenvoudig algebraïsch probleem in een ingewikkeld probleem veranderen. Ze worden vaak gezien als vervelend, moeilijk te manipuleren en enigszins mysterieus. Het goede nieuws is dat het eenvoudig is om ze uit een vergelijking te verwijderen als je eenmaal bedenkt dat een logaritme eenvoudigweg het omgekeerde is van een exponent.

Hoewel het grondtal van een logaritme elk positief getal kan zijn, zijn de meest voorkomende grondtalken in de wetenschap 10 en het getal van Euler e . In de wiskunde geeft ‘log’ een logaritme met grondtal 10 aan en ‘ln’ een natuurlijk logaritme met grondtal e .

TL;DR

Om logaritmen te elimineren, verhoog je beide zijden van de vergelijking tot dezelfde macht als de basis van de logaritme. Als de vergelijking meerdere logaritmen bevat, verplaats ze dan allemaal naar één kant en vereenvoudig ze eerst.

Wat is een logaritme?

Een logaritme beantwoordt de vraag "tot welke macht moet het grondtal worden verheven om een bepaald getal te produceren?" Met andere woorden:de logaritme van een getal is de exponent die nodig is om dat getal uit het grondtal te verkrijgen. Bijvoorbeeld \(\log_8 2 =6\) betekent dat 8 ² =64 . In de gebruikelijke notatie \(\log x =100\) , wordt aangenomen dat de grondtal 10 is, dus de vraag wordt:"10 verheven tot welke macht is gelijk aan 100?" Het antwoord is 2, omdat 10 ² =100 .

Omdat een logaritme de omgekeerde werking van machtsverheffen is, kunnen vergelijkingen die logaritmen bevatten vaak worden 'ontwarren' door de juiste exponent op beide zijden toe te passen. Dit werkt zolang alle betrokken logaritmes dezelfde grondtal hebben.

Voorbeelden

Eenvoudige logaritme
\(\log x =y\)
Verhef beide zijden tot de macht 10:\(10^{\log x} =10^y\) . Sinds 10^{\log x} =x , krijgen we \(x =10^y\) .

Alle termen zijn logaritmen
\(\log (x^2 - 1) =\log (x + 1)\)
Machtsverheffen beide zijden met grondtal 10:\(x^2 - 1 =x + 1\) . Vereenvoudig om \(x^2 - x - 2 =0\) te verkrijgen , waarvan de oplossingen \(x =-2\) zijn of \(x =1\) .

Gemengde logaritmen en algebraïsche termen
Volg deze stappen:
1. Begin met de vergelijking, bijvoorbeeld:\(\log x =\log (x - 2) + 3\) .
2. Verplaats alle logaritmen naar één kant:\(\log x - \log (x - 2) =3\) .
3. Pas de logaritmewetten toe:\(\log \left(\frac{x}{x-2}\right) =3\) .
4. Machtsverheffen beide zijden met grondtal 10:\(\frac{x}{x-2} =10^3\) .
5. Los x op :\(x =1000x - 2000 \Rechtspijl -999x =-2000 \Rechtspijl x =\frac{2000}{999} \circa 2,002\) .

Door deze regels systematisch toe te passen, kun je logaritmen uit vrijwel elke algebraïsche vergelijking elimineren.