De Wronskian is een bepalende factor die is geformuleerd door de Poolse wiskundige en filosoof J & # xF3; zef Maria Ho & #xEB; ne-Wro & x x4; ski. Het wordt gebruikt om te bepalen of twee of meer functies lineair onafhankelijk zijn. Functies die lineair afhankelijk zijn, zijn veelvouden van elk, terwijl lineair onafhankelijke daarvan niet. Als de Wronskian op alle punten nul is, wat betekent dat deze overal verdwijnt, zijn de functies lineair afhankelijk. In wiskundige termen betekent dit voor twee functies f en g dat W (f, g) = 0. Als de Wronskian op bepaalde punten alleen nul is, is lineaire afhankelijkheid niet bewezen. Als u de Wronskian wilt berekenen, moet u weten hoe u determinanten kunt gebruiken en hoe u de afgeleiden van functies kunt vinden.

Gebruik de formule Wronskian voor twee functies, zoals links wordt weergegeven. De determinant wordt berekend met behulp van de formule W (f, g) = fg '- gf'. Als dit bij alle waarden gelijk is aan nul, zijn de functies f en g veelvouden van elkaar en zijn ze dus lineair afhankelijk.

Los de Wronskian op voor twee functies. Als voorbeeld, voor e ^ x en e ^ 2x, is de determinant zoals links wordt getoond. Het derivaat voor e ^ x is e ^ x, en de afgeleide voor e ^ 2x is 2e ^ 2x. De Wronskian is e ^ x * 2e ^ 2x - e ^ 2x * e ^ x.

Vereenvoudig de uitdrukking in stap twee. Dit is gelijk aan 2e ^ 3x - e ^ 3x. Dus W (e ^ x, e ^ 2x) = e ^ 3x. Omdat dit nooit nul is voor een waarde van x, zijn de twee functies lineair onafhankelijk.

Gebruik de Wronskian voor drie functies. De bepalende factor voor functies f, g en h is W (f, g, h) = f (g'h '' - h'g '') - g (f 'h' '- h'f' ' ) + h (f 'g' '- g'f' ').

Los de Wronskian op voor drie functies. Als voorbeeld geldt voor 1, x en x ^ 2 de determinant zoals links wordt weergegeven. De eerste afgeleide voor 1 is 0, voor x is deze 1 en voor x ^ 2 is deze 2x. De tweede afgeleiden zijn respectievelijk 0, 0, 2.

Steek de waarden voor de eerste en tweede afgeleide van stap twee in de determinant. De Wronskian is 1 * (1 * 2 - 0) - 0 + 0. Dus W (1, x, x ^ 2) = 2. Aangezien dit nooit 0 is, zijn de drie functies lineair onafhankelijk.