Er is een belangrijk groot verschil tussen het vinden van de verticale asymptoot (en) van de grafiek van een rationale functie en het vinden van een gat in de grafiek van die functie. Zelfs met de moderne grafische rekenmachines die we hebben, is het erg moeilijk om te zien of te identificeren dat er een gat in de grafiek is. Dit artikel laat zien hoe u zowel analytisch als grafisch kunt identificeren.

We zullen een gegeven Rational-functie gebruiken als een voorbeeld om analytisch weer te geven, hoe u een verticale asymptoot en een gat in de grafiek van die functie kunt vinden. Laat de Rationele functie zijn, ... f (x) = (x-2) /(x² - 5x + 6).

Factorizing the Noemer van f (x) = (x-2) /( x² - 5x + 6). We krijgen de volgende equivalente functie, f (x) = (x-2) /[(x-2) (x-3)]. Als de noemer (x-2) (x-3) = 0 is, is de Rational-functie nu Ongedefinieerd, dat wil zeggen, voor Division by Zero (0). Zie het artikel 'Hoe te delen door nul (0)', geschreven door dezelfde auteur, Z-MATH.

We zullen opmerken dat Division by Zero alleen Undefined is als de Rational expression een Teller heeft die is niet gelijk aan nul (0) en de noemer is gelijk aan nul (0), in dit geval gaat de grafiek van de functie zonder grenzen naar positieve of negatieve oneindigheid toe op de waarde van x die ervoor zorgt dat de noemer-expressie gelijk is aan nul . Op deze x tekenen we een verticale lijn, de verticale asymptoot.

Als de teller en de noemer van de rationale uitdrukking beide nul (0) zijn, geldt voor dezelfde waarde voor x, dan De verdeling door nul op deze waarde van x wordt gezegd 'zinloos' of onbepaald te zijn, en we hebben een gat in de grafiek met deze waarde van x.

Dus in de rationale functie f (x) = ( x-2) /[(x-2) (x-3)], we zien dat bij x = 2 of x = 3, de noemer gelijk is aan nul (0). Maar bij x = 3 zien we dat de Teller gelijk is aan (1), dat wil zeggen, f (3) = 1/0, vandaar een verticale asymptoot op x = 3. Maar op x = 2 hebben we f (2 ) = 0/0, 'zinloos'. Er staat een gat in de grafiek op x = 2.

We kunnen de coördinaten van het gat vinden door een equivalente Rationale functie te vinden naar f (x), die alle dezelfde punten van f (x) heeft behalve op het punt op x = 2. Dat wil zeggen, laat g (x) = (x-2) /[(x-2) (x-3)], x ≠ 2, dus door te verkleinen tot de laagste termen hebben we g (x) = 1 /(x- 3). Door x = 2 te vervangen, krijgen we in deze functie g (2) = 1 /(2-3) = 1 /(- 1) = -1. dus het gat in de grafiek van f (x) = (x-2) /(x² - 5x + 6) staat op (2, -1).